Нормальное распределение (распределение Гаусса)

где - функция Лапласа;

27

Вопрос № 21

Сочетание – это набор изmразличных элементов некоторого n-элементного множества, причем два любых сочетания, отличающиеся порядком следования элементов, совпадают. Стандартным обозначением для числа сочетаний mэлементов из n является символ Число сочетаний вычисляется по формуле .

В задачах комбинаторики числа часто называют биномиальными коэффициентами. Это связано с тем, что они выступают в качестве коэффициентов в формуле бинома Ньютона

Между биномиальными коэффициентами имеется много важных и интересных соотношений. Например, . Последнее тождество позволяет быстро вычислять биномиальные коэффициенты для небольших n по следующему правилу: для и формула позволяет перейти к и т.д. Для использования этого алгоритма надо помнить, что при любом n.

ВОПРОС № 22

Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q m np+ p,

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью pi (i=1,2,…,k). Вероятность появления m1 раз первого события и m2 - второго и mk-k-го находится по формуле

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

Таблица значений функции имеется в приложении 3.

Вопрос № 24

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/ k ². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

· Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

· Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;

· Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.

· Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

· Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

· Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

· Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;

· Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;

· Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

, где — их ковариация;

· Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

, где ;

· В частности, для любых независимых или некоррелированныхслучайных величин, так как их ковариации равны нулю;

·

·

·

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины