Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Однородные второго порядка 
Составляется характеристическое уравнение: 
а) если дискриминант  , то корни действительны и различны:  ,
то общее решение уравнения: 
б) если  , то корень один  ,и общее решение: 
в) если  , то корни комплексные  и решение: 
|
Однородные n -ого порядка 
|
Составляется характеристическое уравнение: 
а)если корни действительны и различны:  , то общее решение уравнения:
б)если среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни:  , то им соответствуют два линейно независимых решения: 
в)если среди корней характеристического уравнения имеется корень λ, кратности k > 1, то есть λ 1 = λ 2 = …= λ k = λ, тогда ему соответствуют k корней:
г)если - комплексные корни, кратности k, то аналогично
|
Неоднородные 
|
| Общее решение: у = уобщ + участн,
где уобщ – это решение однородного уравнения, а участн находится методом вариации произвольных постоянных
|
| Метод вариации произвольных постоянных
а)если
q(x) = eγxPm(x),
где Pm(x) – многочлен m – ой степени, то частное решение нужно искать в виде:
yчаст = xseγxQm(x),
где Qm(x) – многочлен m – ой степени с неопределенными коэффициентами;
s = 0, если γ – не является корнем характеристического уравнения
s – равно кратности корня γ, если γ – является корнем характеристического уравнения
б)если
q(x) = eγx(Pn(x)cosβx + Rm(x)sinβx),
где Pn(x) и Rm(x) многочлены степени m и п,
тогда частное решение нужно искать в виде:
yчаст = xseγx [Qk(x) cosβx + Dk(x)sinβx]
где k = max{n;m}
s = 0, если γ + iβ – не является корнем характеристического уравнения
s – равно кратности корня γ, если γ +iβ – является корнем характеристического уравнения
|
2015-07-21
274
