Распределение вектора E в синусоидальной волне

Рассмотренная ранее плоская электромагнитная волна обладает важным свойством - распределения электрического и магнитного полей перемещаются без изменения формы. Опыт показывает, что электромагнитная волна с любым распределением E и B обладает этим свойством.

Задача 1 [C12.1.3] На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Максимальное значение напряженности электрического поля равно E₀. Положим, что скорость распространения равна v.Направление распространения вол-

ны указано стрелкой. Как зависит напряженность электрического поля от координаты x и времени.

Решение. В решении задачи выделим три этапа:
1) Математическое конструирование на основе рисунка начальной конфигурации электромагнитной волны;
2) математическое описание бегущей волны;
3) анализ уравнения бегущей волны в частных случаях (закон изменения напряженности электрического поля в данной точке, мгновенные фотографии пространственного распределения значений E.

1) Из данных о том что волна синусоидальная и из рисунка следует, что начальное распределение напряженности электрического поля описывается синусоидой с нулевой начальной фазой, т.е. E(x; t=0)=Eоsinkx, где k играет роль пространственной частоты. Поскольку l -пространственный период распределения напряженности электрического поля, постольку по аналогии с формулой, связывающей период T с частотой w=2p/T, получаем k=2p/l. Таким образом,
E(x; t=0)=Eоsin x. (1)

2) Изменение распределения напряженности с течением временидолжно выглядеть как равномерный сдвиг вдоль оси OX. За время t должен накапливаться сдвиг, равный v t. Поэтому начальное распределение (1) в момент времени t превратится в
E(x; t)=Eоsin (x- v t). (2)
Если раскроем скобки в аргументе синуса, то получим
E(x; t)=Eоsin( x-2p t). (3)
Так как l/ v =T, то, учитывая данные и соотношение w=2p/T,получаем
E(x; t)=Eоsin(kx–wt). (4)
Из проведенных выкладок очевидно соотношение v = .

3) Отметим точку x=x1 и определим закон изменения напряженности электрического поля в этой точке. Согласно (4)
E(x1; t)=Eоsin(kx1- wt) = - Eоsin(wt-a1). (5)
где a1=kx1 - начальная фаза колебаний в точке x1. Наблюдение в следующей точке x2>x1 даст колебания с той же частотой, но со сдвигом фазы a2=kx2.

Последовательность пространственных распределений напряженности электрического поля - мгновенные фотографии распределений - изображена на рисунке 17. График распределения E(x; t1) представляет собой график E(x; 0) сдвинутый наv t1. График E(x; t2) представляет собой график
E(x; 0) сдвинутый наv t2.

2.2 Распределение магнитной индукции в синусоидальной волне

Рассмотрим вопрос о том, как распределено магнитное поле в электромагнитной волне. Проведем анализ, в основных чертах повторяющий анализ механизма распространения электромагнитного импульса. При этом рассмотрении новые физические идеи не возникают. Отличие имеется только в математической технике.

Задача 2. Пусть вдоль оси OX распространяется плоская синусоидальная электромагнитная волна с известным распределением электрического поля. Рассмотрим поток вектора электрического поля через узкую, шириной Dx и длины b, прямоугольную площадку перпендикулярную напряженности электрического поля, расположенную на расстоянии x от начала координат. Длинная сторона площадки параллельна фронту волны (в новой ситуации фронт - плоскость равных фаз).
а) Чему равен поток вектора напряженности электрического поля через эту площадку в момент времени t? Считайте, что на малом расстоянии Dx электрическое поле практически однородно.
б) Определите скорость изменения потока вектора напряженности электрического поля в тот же момент времени.
в) Воспользуйтесь законом полного тока и определите, чему равна разность значений магнитной индукции B(x+Dx;t)-B(x; t). При стремлении Dx к нулю отношение равно производной в точке x в момент времени t. Попытайтесь подобрать такую зависимость B(x),чтобы производная от нее по координате x давала найденную вами в п. в зависимость. Сравните законы изменения электрического и магнитного полей. Обратите внимание на то, что взаимная ориентация вектора магнитной индукции, напряженности электрического поля и скорости распространения волны та же самая, что и в рассмотренном ранее электромагнитном импульсе.

Мы должны иметь в виду, что в электромагнитной волне не только магнитная индукция возникает из-за изменения электрического поля, но и в электрическое поле является следствием изменения магнитного.

Задача 3. Вернемся к физической ситуации, задачи 1. Рассмотрим магнитный поток через узкую, шириной Dx и длины b, прямоугольную площадку такую же как в задаче 2 только перпендикулярную магнитной индукции.
а) Чему равен магнитный поток через эту площадку в момент времени t? Считайте, что на малом расстоянии Dx магнитное поле практически однородно.
б) Определите скорость изменения магнитного потока в тот же момент времени.
в ) Воспользуйтесь законом электромагнитной индукции и оп­ределите, чему равна разность значений напряженности электрического поя в соседних точках - E(x+Dx; t)-E(x; t).
г) Имея в виду, что электрическое поле, индуцированное изменением магнитного поля, то же самое, что и поле, в результате изменения которого возникло само магнитное поле, определите скорость распространения электромагнитной волны.

В ы в о д: магнитное и электрическое поля в электромагнитной волне взаимно перпендикулярны и в заданной точке изменяются синхронно. Взаимная ориентация векторов , и такова, что если вектор вращать на вектор , как рукоятку буравчика, то движение буравчика укажет направление вектора скорости. | | =с.