Решение задач

Задача 1. Во всей бесконечной проводящей плоскости на 1 мкс включили ток с поверхностной плотностью 1 А/мм и выключили.
а) Какой толщины слой, занятый электрическим и магнитным полями, будет удаляться от плоскости?
б) Чему равна энергия электромагнитного поля на единицу объема удаляющегося слоя?

Решение. а) За время t=1 мкс передний фронт волны удалится от плоскости на расстояние L=ct=3×108×10-6 =300 м. В это время ток прекращается, магнитное и электрическое поля становятся равными нулю.

б) Для определения плотности энергии в импульсе волны надо знать напряженность электрического и индукцию магнитного поля. Магнитная индукция равна B=moj/2. Напряженность электрического поля E=c×B=cmoj/2. Из курса 10 класса известно, что плотность энергии электрического поля равна UE= eoE2; Плотность энергии магнитного поля - UB= B2. Учтем, что mo = , поэтому UB= eос2B2, или, учитывая связь между электрическим векто­ром и магнитным в электромагнитной волне, UB = eoE2. На этот результат - равенство плотностей электрической и магнитной энергий - следует обратить внимание, так как он является общефизическим. Итак,
U=UE+UB=eоE2. (1)
После подстановки получаем
U=c2eоmo2j2 /4 =moj2 /4 =4p10-7106 /4 »0,32 Дж/м3.

Задача 2. a) Выразите среднюю плотность энергии плоской синусоидальной волны через амплитуду электрического поля Eo.
б) Покажите с помощью закона сохранения энергии, что в сферической волне, излучаемой точечным источником, амплитуда напряженности электрического поля и амплитуда индукции магнитного поля волны убывают обратно пропорционально расстоянию от источника, если среда не поглощает энергию.

Решение. а) В синусоидальной волне, распространяющейся в направлении z,
E(z; t)=Eosin(kz-wt). (2)

Используя (1), получаем выражение для плотности энергии в точке z.

U(z; t)= eоEo2sin2(kz-wt). (3)

Среднее значение квадрата синуса равно 1/2, поэтому

á U(z; t) ñ = eоEo2. (4)

Этот результат так же заслуживает внимание в силу частой его применимости.

б) Электромагнитная волна переносит энергию. Выделим тонкий сферический слой такой толщины Dr, что амплитуда колебаний электрического поля в любой точке слоя одна и та же. Энергия электромагнитного поля в слое равна

W(r)=V eоEo2(r)= pr2Δr eоEo2(r). (5)

В силу постоянства скорости света при распространении слой электромагнитной волны не изменяет своей толщины, значит, при распространении волны увеличивается объем слоя пропорционально r2. С другой стороны, в силу закона сохранения энергии, энергия расширяющегося слоя остается постоянной, поэтому

Eo2(r)~ Û Eo(r)~ . (6)

Задача 3. От серебряного зеркала отражается перпендикулярно падающая электромагнитная волна с частотой n=1015Гц.
а) Оцените глубину проникновения волны в металл, если число электронов в единице объема равно ne=5.86×1022см-3.
б) Какое давление на зеркало создает волна, если в единицу времени через каждый квадратный метр она переносит 1000 Дж энергии?

Решение. При изучении отражения электромагнитной волны от проводящего слоя с малой концентрацией электронов было установлено, что амплитуда напряженности электрического поля отраженной волны от проводящего слоя толщиной b - Eотр - равна
Eотр=cmo neb, (7)
где e, me -заряд и масса электрона, Eo - амплитуда падающей волны. При отражении от металла, где велика электронная плотность, по мере проникновения вглубь металла на движение электронов в проводящем слое все в большей степени влияет не только падающая, но и отраженная волна и зависимость Eотр(neb) выходит на Eотр(neb)=Eo (см. рисунок 20 из занятия 1.1.5). Точки графика, где Eотр(neb)<Eo, соответствуют местам, куда еще проникает волна. Толщину области проникновения электромагнитной волны в металл d можно определить по точке пересечения асимптотической зависимости Eотр(neb) (7)уровня Eo. Таким образом, решая уравнение Eотр=Eo, найдем

. (8)

Подстановка данных задачи и значений констант дает d=10-8 м.

Задача 4. На металлическую пластинку перпендикулярно падает плоская синусоидальная электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрического поля Eo. Объясните, почему в непосредственной близости от поверхности пластинки напряженность электрического поля в любой момент времени близка к нулю, а магнитное поле принимает максимальное значение. Вычислите его.

Задача 5 [ФЛФ31.2]. Показатель преломления ионосферы для радиоволн с частотой w=108 с-1 равен n=0,90. Определите число электронов в
1 см3.

Решение. На занятии 1.1.6 было выведено выражение показателя преломления газа. Оно имеет вид
n=1+ , (9)
Для электронов проводимости в плазме wо =0,поэтому
n=1- . (10)
Из уравнения (10) находим
ne= =6,29×1011 м-3=0,629×106см-3 (11)

Задача 6. Вы попали в облако тумана. Издалека вам в лицо светит мощный источник линейно поляризованного света. Как без дополнительных приборов, кроме глаз, можно определить ориентацию плоскости поляризации света?