Выпуклость и точки перегиба

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в (a,b).

Функция y=f (x) называется выпуклой вниз (вверх) в интервале (a,b), если для любого x₀Î(a,b) значение функции в "хÎ(a,b) не меньше (не больше) соответствующей ординаты касательной к графику функции, проведенной в точке (x₀, f (x₀)).

Теорема. Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в (a,b). Эта функция выпукла вниз (вверх) на этом интервале тогда и только тогда, когда f ''(x)³0

(f ''(x) 0) "xÎ(a,b).

Определение. Точка х₀ называется точкой перегиба для функции y = f (x), если в некоторой окрестности этой точки график функции лежит по разные стороны от касательной к графику, проведенной в точке х₀, т.е. для х>x₀, y_ф-y_k ³ 0, а для х < x₀, y_ф-y_k £ 0 или наоборот. Точку х₀, в которой имеется вертикальная касательная, называют точкой перегиба, если направления выпуклости функции по разные стороны от х₀ противоположны

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y=f(x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в х_0. Тогда если точка перегиба, то или не существует.

Такие точки х₀, в которых f (x₀) непрерывна, а f "(x₀)=0 или не существует, называются критическими точками второго порядка.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема в U(x₀)\{x₀} и непрерывна в x₀, где x₀ – критическая точка второго порядка. Тогда, если при x<x₀ и x>x₀, f ''(x) имеет разные знаки, то x₀ – точка перегиба этой функции. Если же при x<x₀ и x>x₀, знаки f ''(x) совпадают, x₀ – не точка перегиба.

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ®¥) Теорема (о вертикальной асимптоте). Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой функции y=f (x) только в том случае, когда при х х₀ – или х х₀+ эта функция является бесконечно большой.

Теорема (о наклонной асимптоте). Прямая y=kx+b является правой (левой) наклонной асимптотой функции y=f (x) в том и только том случае, когда существуют (конечные) пределы

и .