Краткое содержание лекции

Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема на отрезке . Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством . Отношение при стремится к определенному числу и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую: , где при . Умножая все члены последнего равенства на , получим: , где - бесконечно малая величина. Произведение называют дифференциалом функции и обозначают через или . Если функция имеет производную в точке , то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции и обозначается символом :

или (6)

Производные высших порядков. Пусть функция дифференцируема на некотором отрезке . Значение производной зависят от . Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции . Производная от первой производной называется производной второго порядка от первоначальной функции и обозначается символом или .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается через или .

Производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка и обозначается символом или : .

Пусть , пройденный поступательно движущимся телом, в зависимости от времени выражается формулой ; Как известно, . Ускорением в данный момент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: или но, так как то