Краткое содержание лекции

Пусть мы имеем функцию (1) определенную в некотором промежутке. При каждом значении аргумента из этого промежутка функция имеет определенное значение. Пусть аргумент получил некоторое приращение . Тогда функция получит некоторое приращение . Таким образом: при значении аргумента будем иметь , при значении аргумента будем иметь .

Найдем приращение функции : .

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: .

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции и обозначают . Таким образом, по определению, (2)

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

а) Механический смысл производной. Если зависимость расстояния движущейся точки от времени выражается формулой , то скорость в момент выражается формулой . Следовательно, , (3) т.е. скорость равна производной от пути по времени .

б) Геометрический смысл производной. Значение производной при данном Dy значении аргумента равняется тангенсу угла, a бразованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке т.е. (4)

2. Дифференцируемость функции. Правила дифференцирования.

Определение. Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует , то мы говорим, что при данном значении функция дифференцируема или имеет производную. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка или интервала , то говорят, что она дифференцируема на отрезке или, соответственно, в интервале .

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. В точках разрыва функция не может иметь производной.

3. Производная обратной и сложной функции

а) Теорема. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную , равную , т.е. справедлива формула (5)

б) Производная от сложной функции. Пусть дана сложная функция , т.е. такая, что ее можно представить в следующем виде: , или .

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет при соответствующем значении и производную , тогда сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая равна

, (6)

где в место и должно быть подставлено выражение . Коротко, , т.е. производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента по .