Теорема о пределе отношения членов числовых последовательностей

Теорема о пределе суммы (разности) членов числовых последовательностей

Если ч.п. и имеют пределы

и ,

то . Принимаем без доказательства.

Теорема о пределе произведения членов числовых последовательностей

Если ч.п. и имеют пределы

и ,

то . Принимаем без доказательства. Следствием настоящей теоремы является утверждение о том, что постоянную можно вынести за знак предела.

Теорема о пределе отношения членов числовых последовательностей

Если ч.п. и имеют пределы

и ,

причем ,

то . Принимаем без доказательства.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства

3.1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Бесконечно малой называется ч.п. , предел которой равен 0

Для этого случая по любому положительного числа найдется номер такой, что для любых выполняется неравенство

Очевидно, что если , то или - будут бесконечно малыми величинами. И наоборот, если или бесконечно малые величины, то .

Определение. Ч.п. называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) числа найдется номер такой, что для любых выполняется неравенство

Если ч.п. сохраняет свой знак, то пишут или . Иногда вместо знака пишут знак .

Пример. Ч. п. не является бесконечно большой величиной.

3.2. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин

Если ч.п. является бесконечно малой и нигде ее члены в ноль не обращаются, то очевидно ч.п. является бесконечно большой. И - наоборот.

3.3. Типы неопределенных выражений

В случаях, когда теоремы о пределе суммы или разности, произведения или частного оказываются не применимыми, говорят о наличии неопределенности в выражении, стоящем под знаком предела. К ним относят следующие неопределенные выражения:

1. неопределенность типа , когда вычисляется предел отношения , в котором и - бесконечно малые величины;

2. неопределенность типа , когда вычисляется предел отношения , в котором и - бесконечно большие величины;

3. неопределенность типа , когда вычисляется предел произведения , в котором бесконечно малая а - бесконечно большая величина;

4. неопределенность типа , когда вычисляется предел разности , в котором и - бесконечно большие величины. Помимо них встречаются неопределенности типов и .

Для вычисления этих пределов применяют различные приемы раскрытия неопределенных выражений. В частности используют теорему о том, что если , то .

При вычислении пределов используют следующую классификацию б. м. величин.

Если , то считают величиной более высокого порядка малости по сравнению с и пишут .

Если (), то величины и считают величинами одного порядка малости.

Если , то величины и считают эквивалентными. Одну эквивалентную величину можно заменять на другую в произведениях и частном.

Аналогичным образом осуществляют сравнение бесконечно больших величин.

Для раскрытия неопределенных выражений типа применяют теорему Штольца.

Теорема (Штольца). Пусть числовая последовательность является возрастающей бесконечно большой величиной, а - бесконечно большая величина. Тогда выполняется соотношение

если только существует предел справа (конечный или бесконечный).

В зависимости от сравниваемых числовых последовательностей и предел может быть конечным числом, нулем, или не существовать.

Примеры.

1. , . Тогда - конечное число.

2. , . Тогда .

3. , . Тогда .

4. , . Тогда - не существует.

5. , . Тогда .

6. , . Тогда .

7. , . Тогда - не существует.

4. Число

Особое место в математике занимает число . Оно определяется как предел числовой последовательности

(1)

Для анализа характера изменения членов числовой последовательности воспользуемся формулой бинома Ньютона

(2)

где - число сочетаний из элементов по .

Применим формулу (2) к соотношению (1). В результате получим

. (3)

Таким образом, получено, что

. (4)

Оценим сверху члены числовой последовательности

Последнее соотношение есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Поэтому

Итак, последовательность (1) ограничена сверху. Она является также возрастающей. Действительно, из формулы (3) видно, что для следующего члена последовательности число положительных слагаемых возрастет на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего увеличится. Возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел