Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть { p, q } – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р -угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/ р) или 180 (1 – 2/ р) градусам. Так как многогранник { p, q } выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство
где символ < означает «меньше чем». После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.
|
|
Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N 0 – число вершин, N 1 – число ребер и N 2 – число граней каждого многогранника.
К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (а), но упускается из виду условие (б). Между тем условие (б) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (б), но не удовлетворяющий условию (б). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим – четыре, что нарушает условие (б). [1]
ПЯТЬ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ | ||||
Название | Запись Шлефли | N 0(число вершин) | N 1(число ребер) | N 2 (число граней) |
Тетраэдр | {3, 3} | |||
Куб | {4, 3} | |||
Октаэдр | {3, 4} | |||
Икосаэдр | {3, 5} | |||
Додекаэдр | {5, 3} |