Скалярное произведение. Правильные многоугольники

1 2

В треугольнике ABC известно: / Медианы и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
Докажите, что медианы треугольника ABC перпендикулярны в том и только том случае, когда .
Докажите, что для четырех произвольных точек A, B, C, D имеет место равенство .
CM – высота треугольника ABC, H – его ортоцентр. Докажите, что .
Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC, точка H такова, что . Докажите, что H – ортоцентр треугольника.
Для любого вектора имеет место равенство . Докажите, что .
Выведите формулу Герона вычисления площади треугольника.
Внутри правильного n -угольника взята точка, проекции которой на все стороны попадают во внутренние точки сторон. Этими точками стороны разделяются на 2 n отрезков. Занумеруем их подряд: 1, 2, 3,..., 2 n. Доказать, что сумма длин отрезков с чётными номерами равна сумме длин отрезков с нечётными номерами.
Правильный многоугольник вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка. Докажите, что .
О построении правильных многоугольников.
В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что и .
У правильного 5000-угольника покрашено 2001 вершина. Докажите, что найдутся три покрашенные вершины, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.
В правильном 10-угольнике провели все диагонали. Сколько попарно неподобных треугольников имеется на этом рисунке?