Свойства биномиальных коэффициентов

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

Докажем сначала равенство 1.

Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

Теперь докажем равенства 2 и 3. С этой целью положим в формуле (1) переменную равной 1. Тогда получим формулу:

(3)

Если теперь в формулу (3) подставить значение , то мы получим равенство 2.

Если же в формулу (3) подставить значение , то мы получим равенство 3.

Перейдем к доказательству равенства 4.

Для этого перепишем формулу (3) в виде

(4)

Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим формулу:

(5)

Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

что и требовалось.

В заключении приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем равенство

Воспользуемся методом математической индукции.

1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
   
   
   
   Получили верное равенство.

1. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть
   
   

1. Докажем, что
   
   
   
   основываясь на предположении второго пункта.
   
   Поехали!
   
   
   
   Раскрываем скобки
   
   
   
   Группируем слагаемые
   
   
   
   Так как и , то , так как и , то .
   
   Используя свойство сочетаний , получим
   
   
   
   Подставив эти равенства в выражение
   
   
   
   придем к
   
   
   
   А это и есть правая часть формулы бинома.

На этом метод математической индукции завершаем. Формула бинома Ньютона доказана.