2015-08-12
27448
В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:
которая расшифровывается так
| (14.1) |
где 
-- функция целочисленного аргумента. Здесь символ 
(большая греческая буква "сигма") означает суммирование. Запись 
внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой 
и что начальное значение этой переменной равно 
. Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .
Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:
1) 
.
2) 
. Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным 
и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти
3) 
.
4) 
.
5) 
.
В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида 
. Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому
С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:
|
|
|
| (14.2) |
где для трехмерного пространства 
, для плоскости 
.
Для единообразия будем считать, что
и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.
Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,
Или
в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.
Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:
Доказательство этого предложения предоставляется читателю.
