Модуль 2: Теория функций комплексного переменного

Лекции

Лекция 10. Комплексное переменное, комплексная плоскость. Задание кривых и областей в комплексной плоскости:

Функция комплексного переменного, ее геометрический смысл. Однозначные и многозначные функции. Примеры линейной и степенной функции.

Л-7 гл.2 §2; Л-8 гл.1 §2, гл.2 §1,2., Л-6, гл.1,3.

Лекция 11. Предел функции комплексного переменного, непрерывность. Производная функции комплексного переменного, условия Коши-Римана. Аналитичность функции в области, в точке. Гармонические функции, их связь с аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Однолистные и многолистные функции.

Л-7 гл.2 §2; Л-8 гл.1 §3,4., Л-6, гл.3,4.

Лекция 12. Ряды с комплексными членами. Определение функций

с помощью степенных рядов. Вывод формул, связывающих эти функции. Логарифмическая функция комплексного переменного, ее свойства: выделение действительной и мнимой части, многозначность, главное значение, область определения. Вычисление значений функций

Л-7 гл.4 §2,3; Л-8 гл.2 §1,2, гл.3 §1, гл.4 §1. Л-6, гл.3, §3.3,3.5.

Лекция 13. Конформные отображения.Основные свойства.Теорема Римана. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями: линейной, дробно-линейной, функцией Жуковского. Показательная функция и логарифм.

Л-6 гл. 9-10; Л-11 гл.; Л-7 гл; Л-8 гл.

Лекция 14. Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного, его выражение через действительные криволинейные интегралы, основные свойства. Интеграл от аналитической функции комплексного переменного, его независимость от пути интегрирования, формула Ньютона - Лейбница. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

Л-7 гл.2 § 4; Л-8 гл.1 § 5, Л-6, гл.5.

Лекция 15. Вычисление интегралов вида . Интегральная формула Коши для функции, аналитической в односвязной и многосвязной области. Вывод интегральной формулы производной n-го порядка. Бесконечная дифференцируемость функции в точке аналитичности . Вычисление интегралов по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши и интегральной формулы n-ой производной.

Л-7 гл.2 § 4, 5, 6, Л-8, гл.5.

Лекция 16. Ряды Лорана, их область сходимости. Теоремы о разложении аналитической функции в кольце в ряд Лорана, аналитической функции в круге в ряд Тейлора. Интегральные коэффициенты ряда Тейлора и ряда Лорана.

Л-7 гл.2 § 4, 6; Л-8 гл.2 § 1-2,, Л-6, гл.6.

Лекция 17. Изолированные особые точки функции, их классификация. Поведение функции в окрестности различных типов особых точек. Связь нулей функции и полюсов функции . Вычет функции в изолированной особой точке. Равенство вычета в точке коэффициенту ряда Лорана функции по степеням . Вычисление вычета в полюсе (вывод формулы) и в существенно особой точке. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов от функции комплексного переменного по замкнутому контуру по замкнутому контуру.