Б) Связь между декартовыми и полярными координатами

Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

x = cos ,

y = sin ,

в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

r² = y² + x² (по теореме Пифагора).

3.Определение геометрического вектора, вычисление его длины (модуля) для случаев задания: начальной и конечной точками; и в виде = = .

а ) Геометрическим вектором а называется множество всех направленных векторов, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор a (получен приложением вектора a к точке А). Длинна отрезка называется длинной (модулем) вектора а и обозначается символом . Вектор нулевой длины называется нулевым вектором и обозначается символом 0.

б) Зная координаты начала и конца вектора, мы можем вычислить координаты вектора по формуле:

Зная координаты вектора модуль вектора вычисляется по формуле:

4. Геометрический смысл и физический смысл линейных операций с векторами: сумма векторов , и умножение вектора на вещественное число .

а) Суммой двух векторов называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и их сумма образуют треугольник (рис.ниже). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. (коммутативность);

2. , (ассоциативность);

3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора).

Вектор противоположный вектору обозначают

б) Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или произведение является нулевым вектором.

7.Определение линейной зависимости совокупности векторов , ,…, : привести два определения и показать их равносильность.

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_n (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a₁ а₁+a₂ а₂+…+ a_n а_n =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁, a₂,…, a_n=0 и Î R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a _{i ¹} 0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.