2015-08-13
666
Базис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.
Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.
Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определённом порядке. Эти векторы называются базисными.
Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. (пример: декартова система координат).
9.Определение, физический смысл и основные свойства скалярного произведения векторов 
, 
. Вычисление скалярного произведения.
а) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора на проекцию другого вектора на данный вектор .
Свойства скалярного произведения:
|
|
|
1. коммутативность: (, )=(, )
2. (, )=| |2
3. (, )=0 <=> 
4. Дистрибутивность: ( 1+ 2, )= ( 1, )+ 2, )
5. (, λ· )= λ·(, ) λ R.
б) Вычисление скалярного произведения:
1) ={x1,y1,z1}, ={x2,y2,z2}, то (, )=x1·x2+y1·y2+z1·z2
2) (, )=| |·| |·cosφ
10. Заданы векторы = 
и = 
. Как вычислить проекцию вектора на направление, определяемое вектором ?
= 
, = 
, то (, )= 
11. Заданы векторы = и = . Как вычислить угол между векторами и ?
Угол между двумя ненулевыми векторами определяется с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. С другой стороны, скалярное произведение для двух векторов с координатами (x1; y1) и с координатами (x2; y2) вычисляется по формуле: ab = x1x2 + y1y2. Из этих двух способов нахождения скалярного произведения легко найти угол между векторами.
Найти длины или модули векторов. Для наших векторов и : | | = (x1² + y1²)^1/2, | | = (x2² + y2²)^1/2. из 
Найти скалярное произведение векторов, перемножив их координаты попарно: ( b) = x1x2 + y1y2. Из определения скалярного произведения ( ) = | |*| |*cos α, где α - угол между векторами. Тогда получим, что x1x2 + y1y2 = | |*| |*cos α. Тогда cos α = (x1x2 + y1y2)/(| |*| |) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
Если заданы координаты вектора в пространстве, то просто добавляем координату z i
