Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме:

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки:

Заменим вторую скобку на:

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.

Частичные суммы

n -ая частичная сумма гармонического ряда,

называется n -ым гармоническим числом.

Разница между n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме, не является целым^[3].

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд^[1][4]

.

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1^[4].

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:

Для чётных это значение явно выражается через число пи, например,, а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.