Теоретические сведения

Метод главных компонент был предложен Пирсоном в 1901 году и затем вновь открыт и детально разработан Хоттелингом (1933г.) Данный метод применяется, например, для сжатия объемов хранимой информации и упрощения её интерпретации или сравнения многомерных исследуемых объектов, позволяя снизить размерность исходного признакового пространства ( - исходный признак) и перейти к новым агрегированным признакам ( -главная компонента), . При этом новые показатели представляют собой линейные комбинации исходных , коррелированных между собой, формула (1).

(1)

где и — среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение признака x_i.;

w_ij - коэффициенты главных компонент, максимизирующие дисперсию y_j, которые находятся из уравнения , имеющее решение, если , где S- ковариационная (или корреляционная) матрица;

- собственные числа матрицы S - равны дисперсиям проекций множества объектов на оси главных компонент (или диагоналям эллипса рассеяния), рисунок 1. На рисунке 1 “p” точек сосредоточены в трехмерном пространстве двух систем координат: переменных x_1, x_2, x₃ и главных компонент у_1, у_2, у_3. При этом оси ОУ₁, ОУ₂, ОУ₃ проходят через центр тяжести эллипсоида рассеяния.

Традиционный алгоритм расчета главных компонент включает переход от исходной матрицы наблюдений Х к ковариационной (или корреляционной) матрице S между исходными признаками , далее к расчету собственных чисел . Основываясь на наибольших собственных числах, наилучшим образом объясняющих исходное пространство признаков, производится переход к главным компонентам путём определения их коэффициентов w_j= (w_1j,...,w_pj) ', максимизирующих дисперсию проекций множества объектов на оси главных компонент. Таким образом, выбираются только те главные компоненты, изменчивость которых покрывает большую часть изменчивости .

Рисунок 1 – Диаграмма рассеяния x_1, x_2, x₃

3. ПРИМЕР ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ GRETL

Рассмотрим задачу, стоящую перед международным рейтинговым агентством, например, Standard&Poor's или Moody's Investors Service по формированию рейтинга устойчивого развития предприятия (обобщённого показателя устойчивости предприятия для их сравнения) на примере компаний Ford Motor Company и General Motors.

Пусть устойчивое предприятие – это компания, существующая более 100 лет, а к составляющим устойчивого развития относятся:

1. Финансовая составляющая, y₁;

2. Продукт и потребители, y₂;

3. Качество отношений с персоналом, y₃;

4. Окружающая среда и безопасность, y₄.

Тогда предприятие – это многомерный объект, характеризующийся вектором функций а=(y_1, y_2, y_3, y₄)', где каждый элемент вектора y_i – главная компонента (с наибольшим вкладом), определяемая набором исходных признаков . Тогда собственное число , соответствующее каждому y_i (i=1..4), является рейтингом предприятия в соответствующей области (1,2,3 или 4), а средняя арифметическая значений собственных чисел (соответствующих y_1, y_2, y_3, y₄) составит обобщённый показатель (рейтинг) устойчивого развития предприятия в целом. Сравним данные рейтинги для компаний Ford Motor Company и General Motors с использованием пакета GRETL.

3.1. Исходная информация

Автомобильная корпорация Ford Motor Company (ОАО) www.ford.com была основана в 1903 году Генри Фордом и одна из немногих пережила Великую Депрессию, постоянно находясь под контролем одной семьи в течение более 100 лет, стала одной из крупнейших и наиболее прибыльных автомобилестроительных компаний мира. Компания получила известность как первая в мире применившая классический автосборочный конвейер. Штаб-квартира Ford находится в Мичигане (США), компания является производителем и дистрибьютором автомобильной техники на 200 рынках в шести странах мира, имеет более 280000 работников и более 100 заводов по всеми миру. Компания выпускает широкий спектр легковых и коммерческих автомобилей под марками Ford, Jaguar, Land Rover, Lincoln, Mercury, Volvo, Aston Martin, Mazda. Ford — третий по объёму выпуска автопроизводитель в мире после General Motors и Toyota. В настоящее время президентом компании и исполнительным директором является Alan Mulally, а председателем совета директоров - William Clay Ford. Основными конкурентами предприятия являются General Motors, Toyota Motor Corp, DaimlerChrysler, PSA/Peugeot-Citroën, Hyundai Motor, Honda Motor Co., Nissan Motor Co., Renault SA.Выручка компании в 2007 году составила $172,455 млрд, чистый убыток — $2,7 млрд.

General Motors (GM) (ОАО). http://www.gm.com – один из основных конкурентов Ford Motor Company, основана в 1908 году в Мичигане (США). В настоящее время имеет около 284000 работников, с 1931 года является крупнейшей в мире (по объёму выпуска) автомобилестроительной компанией с заводами в более 33 странах мира. Председатель совета директоров и главный управляющий — Рик Вагонер (Rick Wagoner). Производимые автомобильные марки: Buick, Cadillac, Chevrolet, Hummer, Opel, Pontiac, и т.д. В 2007 году чистый убыток составил $38,7 млрд, а выручка составила $181 млрд.

Определим исходные признаки для каждой составляющей устойчивого развития предприятия:

1. Финансовая составляющая (y₁):

X₁₁ - Net income, bln$ (Чистая прибыль, млрд. $);

X₂₁ - Sales&Revenues, bln$ (Выручка, млрд.$);

X₃₁ - Stockholders’ Equity, bln$ (Акционерный капитал, млдр.$)

X₄₁ - Gross cash, bln$ (Валовая наличность, млдр.$)

X₅₁ - Cash dividends, $ (Наличные дивиденды, $)

X₆₁ - Total assets, bln$ (Совокупные активы, млдр.$)

X₇₁ - Shareholders return, % (Доход акционеров, %)

2. Продукт и потребители (y₂):

X₁₂ - Market share US, % (Доля рынка в США, %);

X₂₂ - Market share Europe (Доля рынка в США, %);

X₃₂ - Customer satisfaction, % (Удовлетворённость потребителя, %)

X₄₂ - Customer Loyalty, US % (Верность потребителя, США %)

X₅₂ - Vehicles sold, units (Объём продаж, шт.)

3. Качество отношений с персоналом (y₃):

X₁₃ - Personnel full-time (Численность персонала на полной ставке,чел.);

X₂₃ – Employee satisfaction, % (Удовлетворённость работников, %);

X₃₃ - Laybor cost per hour, $ (З.пл. в час, $)

4. Окружающая среда и безопасность (y₄):

X₁₄ - U.S. Corporate Average Fuel Economy (Экономия топлива, США, миль на галлон);

X₂₄ – Energy efficiency index, % (Индекс эффективности энергопотребления, %);

X₃₄ - Charitable contributions, mln $ (Благотворительные взносы,млн.$);

X₄₄ - Global Fatalities (Число смертельных случаев на производстве).

Фактические значения вышеперечисленных показателей для компании Ford Motor Company представлены в таблицах 1-4 соответственно, источником данных являются годовые отчёты по устойчивому развитию www.ford.com/go/sustainabilityглавных ки финансовые отчёты http://www.ford.com/about-ford/investor-relations/company-reports предприятия, размещённые на его вэб-сайте. Фрагменты данных отчётов представлены в приложении А. Знак «*» обозначает отсутствие данных и должно быть удалено перед обработкой в Gretl

Таблица 1 – Показатели финансовой составляющей компании Ford

Year	Net income, bln$	Sales& Revenues,bln$	Stockholders equity,bln$	Gross cash,bln$	Cash dividents,$	Total assets,bln$	Shareholders return,%
	0.9		7.633	25.3	0.4	281.851	-39
	0.2	166.095	13.459	25.9	0.4	303.361
	3.038	172.316	17.437	23.6	0.4	299.686	-6
	1.44	176.896	13.442	25.1	0.4	275.936	-45
	-12.613	160.123	3.465	33.9	0.25	290.217

Таблица 2 – Показатели составляющей «Продукт и потребители»компании Ford

Year	Market share US, %	Market shareEur, %	Customer satisfaction, %	Customer loyalty US, %	Vehicles sold, units
	21.1	10.9		48.5
	20.5	10.7		49.9
	19.3	10.9		47.5
	18.2	10.8		45.2
	17.1	10.6		43.3

Таблица 3 - Показатели составляющей «Качество отношений с персоналом»компании Ford

Year	Personnel full-time	Employee satisfaction, %	Laybor cost per hour, $
			52.6
	*		61.4
	*		62.9
			64.9
			70.5

Таблица 4 - Показатели составляющей «Окружающая среда и безопасность» компании Ford

Year	Fuel economy, US	Energy efficiency index, %	Charitable contributions, mln$	Global Fatalities
	23.2	89.7
	23.6	91.7
	22.8	87.8
	24.1	83.4
	23.8	78.4

Создадим на рабочем столе файл Excel с исходными данными dataFord.xls, перенеся каждую из вышеприведённых таблиц 1-4 на отдельный лист созданной рабочей книги Excel как показано на рисунке 2.

Рисунок 2 - Файл исходных данных dataFord.xls

Импортируем созданный файл в пакет Gretl, выбрав пункт меню Open data\Import\Excel\ и файлdataFord.xls на рабочем столе(рисунок 3).Затем в открывшемся окне нажмём кнопку ОК, подтвердив заданные по умолчанию настройки начала импорта с первой ячейки А1 первого листа Finance файла dataFord.xls (рисунок 4). Получим набор данных из семи переменных x₁₁….x₇₁ таблицы 1.

Рисунок 3 – Импорт исходных данных из файла dataFord.xls

Рисунок 4 – Построение набора данных Ford.gdt

Для каждой переменной введём описание «Finance x_i1», i=1…7. Выберем пункт меню Variable\Edit Attributes и заполним поле Description (рисунок 5).

Рисунок 5 – Ввод описания переменных

Добавим в созданный набор данных следующий лист “Product” файла dataFord.xls, выбрав пункт меню File\Append Data\Excel и соответствующий файл (рисунок 6). В открывшемся окне выберем лист «Product» на нажмём кнопку ОК. В результате данные таблицы 2 будут добавлены к созданному набору данных Gretl (рисунок 7).

Аналогичным описанному выше способу добавим описания переменных «Product x_i2», i=1…5. Повторим соответствующие действия добавления для листов “Personnel” и “Ecology”.

Сохраним полученный набор данных, выбрав пункт меню File\Save data и введя имя файла Ford.gdt.

Откроем введённые данные в режиме просмотра и редактирования, выбрав пункт меню View\Icon View и дважды щёлкнув иконку Data Set.

Рисунок 6 – Добавление дополнительных данных в созданный набор

Рисунок 7 – Добавление данных таблицы 2 к созданному набору