Приклади

1. Обчислити інтеграли методом безпосереднього інтегрування

а) , б) , в) , г).

Розв'язання. а. За формулою 2 з таблиці невизначених інтегралів для дістаємо

;

б. Розкриємо дужки під знаком інтеграла і за формулою для визначаємо

;

в. Згідно з властивостями 3 і 4 невизначеного інтеграла і табличними інтегралами маємо

.

г. За формулою 9 із таблиці невизначених інтегралів для дістаємо

.

2. Обчислити інтеграл методом заміни змінної під знаком інтеграла (підстановки) та здійснити перевірку правильності знаходження інтеграла.

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) .

Розв'язання. а. Здійснимо заміну змінної . Тоді

.

Щоб перевірити, чи правильно знайдено інтеграл знайдемо похідну від результату інтегрування:

.

Отже, інтеграл знайдено правильно.

б. У цьому прикладі застосуємо перетворення над підінтегральною функцією , а потім здійснимо заміну змінної :

.

Перевірка: . Інтеграл знайдено правильно.

в. .

Перевірка: .

г. .

Перевірка:

.

д. Врахувавши, що та , здійснимо заміну змінної під знаком інтеграла t= arctg x:

.

Перевірка: .

е. Для цього інтеграла слід врахувати, що та здійснити заміну t= sin x:

.

Перевірка:

.

3. Обчислити інтеграл методом інтегрування за частинами:

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) .

Розв'язання. а. Щоб скористатись базовою формулою (5.3) позначимо: , . Тоді , . Підставивши , і у праву частину базової формули дістанемо

.

Якщо ж позначити: , , то дістанемо , , та

.

Інтеграл справа став складнішим ніж інтеграл зліва . Тому в методі інтегрування частинами підінтегральний вираз недоцільно представляти у вигляді добутку udv, якщо та .

б. Позначимо: , . Тоді , . Підставивши , і у праву частину базової формули (5.3) дістанемо

;

в) ;

г) У цьому прикладі застосовується спочатку метод інтегрування частинами, а потім метод підстановки:

.

д) У розглядуваному випадку інтегрування за частинами потрібно застосувати кілька разів:

.

е)

.