2015-08-13
810
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
.
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
.
Т.к. 
, то 
.
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
.
Элементарным промежутком времени dt называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещением 
в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени dt. Элементарным приращением пути dS в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
; 
.
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
; 
и 
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени 
, следовательно, 
, т.е.
.
Итак,
.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
.
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
.
Итак,
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением 
.
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS, и соответствующие орты касательной 
и 
. Соединим положения с центром кривизны траектории в точке dS.
Малый угол da между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что 
направлен перпендикулярно , т.е. по орту нормали, а его величина
,
следовательно,
.
Угол da связан с элементарным приращением пути dS=R× da, где R – радиус кривизны траектории. Отсюда 
. Подставим:
.
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид: 
.
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.
Сведём все формулы вместе:
