2015-08-13
13594Определение 1. Многочленом (полиномом) называется сумма степенных функций с целыми положительными показателями степеней и с постоянными коэффициентами при этих функциях.
Определение 2. Степенью многочлена называют старшую степень функции, входящей в многочлен.
, 
.
Выше приведены обозначения многочленов второй и пятой степеней, 
постоянные коэффициенты при степенных функциях.
Определение 3. Корнем многочлена называют число, обращающее многочлен в нуль. Если все корни многочлена различные, говорят, что у многочлена простые корни. Если многочлен имеет несколько одинаковых корней, говорят, что многочлен имеет кратные корни. Когда говорят, что 
корень пятой кратности, имеют ввиду, что у многочлена пять одинаковых корней 
.
Как уже говорилось выше, многочлен может не иметь корней на множестве действительных чисел, но на множестве комплексных чисел он всегда имеет корни простые или кратные, причем их число равно степени многочлена.
Примеры.
1. 
. Это неполный многочлен четвертой степени, (присутствуют не все степени 
). Преобразуем многочлен
|
|
|
Ясно, что на множестве действительных чисел этот многочлен имеет два корня 
, на множестве комплексных чисел у него четыре простых корня 
(два действительных и два чисто мнимых).
2. 
- неполный многочлен третьей степени.
Решим уравнение
.
Итак, на множестве комплексных чисел имеем три корня 
,
, один из них действительный.
Теорема 1.
Если 
корень многочлена 
, то есть 
, то многочлен делится нацело на выражение 
. Другими словами, 
.
Доказательство.
Предположим, что многочлен делится на с остатком, то есть
. Очевидно, 
постоянная, ибо в противном случае следует продолжать деление. Подсчитаем 
. Поскольку , равенство возможно лишь при 
, что и требовалось доказать.
Следствие. Если корень многочлена кратности 
, то 
, причем 
.
Теорема 2.
Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то он имеет и комплексно сопряженный корень той же кратности.
Доказательство. Дан многочлен
,
все коэффициенты которого 
действительные, причем 
, а 
комплексное число. Докажем, что комплексно сопряженное число 
также является корнем многочлена. Итак,
.
Поскольку комплексное число, сумма и степень комплексного числа есть комплексное число, левая часть равенства представляет собой комплексное число, причем равное нулю. При изучении комплексных чисел было установлено, что комплексное число равняется нулю только в том случае, если его действительная и мнимая части равны нулю. Но тогда равно нулю и комплексно сопряженное число
,
Ранее было доказано, что комплексное число от суммы равно сумме комплексных чисел, тогда
|
|
|
.
Так как произведение комплексно сопряженных чисел равно комплексно сопряженному от их произведения, а все действительные,
.
Наконец, 
, откуда следует
.
Теорема доказана.
Следствие 1. Если у многочлена с действительными коэффициентами одинаковых комплексных корней 
, то он имеет также комплексно сопряженных корней .
Теорема 3. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет одинаковых комплексных корней , то он может быть представлен в виде
,
причем и - корни многочлена 
, а 
и 
действительные числа.
Доказательство. Многочлен с действительными коэффициентами в соответствии с предыдущим следствием имеет пар комплексно сопряженных корней 
, 
. Тогда из следствия теоремы 1
,
здесь 
.
