Билет 4. Одношаговые итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений. Достаточные условия сходимости

Итерационные методы.

Постановка задачи.

1. Одношаговые итерационные методы. Сходимость.

Определение одношагового итерационного метода. Канонический вид. Определение сходимости, невязки. Лемма о связи погрешности решения и невязки для линейного одношагового метода. Свойства самосопряженных положительных операторов, лемма о положительности собственных значений, лемма об оценке (А х, х) через собственные значения. Лемма об оценке (А х, х) снизу для невырожденной матрицы.

2. Достаточные сходимости одношагового итерационного процесса.

Теорема Самарского.

Билет 5. Метод простой итерации.

3. Метод простой итерации.

Каноническая запись метода. Теорема о достаточном условии сходимости. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости (условие на оператор перехода). Оптимальное значение итерационного параметра.

Билет 6. Метод Зейделя.

4. Метод Зейделя.

Каноническая запись метода Зейделя. Теорема о сходимости метода Зейделя. Индексная запись метода. Теорема о сходимости при диагональном преобладании. Скорость сходимости.

Билет 7. Метод верхней релаксации.

5. Метод верхней релаксации.

Каноническая запись. Индексный вид. Теорема о достаточном условии сходимости.

Билет 8. Интерполирование полиномами. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.

Глава 2 Интерполирование.

1. Постановка задачи.

Постановка задачи интерполяции. Чебышевская система функций.

2. Интерполирование полиномами

Постановка задачи, разрешимость задачи интерполирования полиномами.

3. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

Построение общего вида интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

4. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Построение общего вида интерполяционного многочлена в форме Ньютона.

Билет 9. Погрешность интерполяционного полинома.

5. Погрешность интерполяции.

Теорема о погрешности интерполяции полиномом. Следствия (оценка погрешности, равномерная сходимость).

Билет 10. Интерполирование с кратными узлами. Полиномы Эрмита

6. Интерполяционный многочлен Эрмита.

Определение полинома Эрмита. Теорема о существовании и единственности полинома Эрмита. Оценка погрешности интерполяции полиномом Эрмита.