Запишем уравнение поверхности отклика в следующем виде
где xl,...,xk - независимые переменные, к — число факторов. Во многих случаях цель имитационного моделирования заключается в поиске таких величин или уровней независимых переменных, при которых отклик достигает экстремального значения. Для определения направления движения к экстремальной точке в случае использования количественных, непрерывных и измеряемых величин применяют ряд небольших, полных и неполных факторных экспериментов. Так как поверхность отклика неизвестна, то ее аппроксимируют какой-то гладкой функцией, в качестве которой обычно используют полином первого порядка
или второго порядка
Параметры а0,а1,...,ак,... оценивают по результатам факторного эксперимента.
Для поиска экстремума наиболее часто используют метод скорейшего подъема. Он основан на линейной аппроксимации поверхности отклика в окрестности рассматриваемой точки Р с помощью факторного эксперимента.
По построенной линейной функции определяется направление скорейшего подъема Q к точке оптимума (рис. 9.8). В направлении делается небольшой шаг, после чего описанная процедура повторяется снова. Метод не позволяет определить длину шага, однако, указывает направление движения.
Предположим, что исследователь провел в точке Р эксперимент с 2 к комбинациями плюс два наблюдения в центре. Эксперимент позволяет определить коэффициенты а0, а1, а2 (для случая к = 2), которые определяют наклон плоскости аппроксимации. Направление скорейшего подъема показывает относительные величины изменения факторов, обеспечивающих максимальное увеличение отклика. Поднявшись по этому направлению до некоторой точки Р1,необходимо повторить всю процедуру. Такой итерационный процесс позволяет достигать все лучших и лучших значений отклика. Однако вблизи точки экстремума эта процедура неэффективна, так как коэффициенты а1 и а2,определяющие наклон аппроксимирующей плоскости, становятся небольшими и точность их оценивания низка. Это означает, что вблизи экстремальной точки линейная аппроксимация поверхности отклика является недостаточной и надо переходить к аппроксимации полиномом более высокой степени.
Рис. 9.8
Для рассматриваемого примера эксперимент с 2 к комбинациями достаточен для оценивания коэффициентов ao,al,a2. Однако два добавочных наблюдения в геометрическом центре Р позволяют не только уточнить уравнение регрессии, но и получить несколько дополнительных степеней свободы для проверки статистической значимости оценок параметров регрессии. То же самое можно сделать с помощью повторного эксперимента. Вблизи экстремума поверхности желательно аппроксимировать поверхности отклика, по меньшей мере, полиномом второго порядка. Для этого используют приближение:
Для оценки коэффициентов регрессии этой модели необходимо измерить каждый фактор, по крайней мере, на трех уровнях, то есть использовать 3*-факторный эксперимент. Однако этот эксперимент дает довольно низкую точность оценок коэффициентов регрессии. Поэтому специально для квадратичных полиномов используют другие способы построения эксперимента. Из них наиболее полезными являются центральный композиционный или рототабельный планы. Они получаются путем добавления дополнительных точек к данным, полученным из 2к факторных экспериментов. Для рототабельного построения стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. Такие построения разработаны для любого числа факторов и представляют собой правильные геометрические фигуры с центральными точками.