2015-08-21
217
а) количество переменных двойственной задачи равно количеству основных ограничений прямой задачи (количеству имеющихся ресурсов);
б) количество основных ограничений двойственной задачи равно количеству переменных прямой задачи;
в) коэффициенты из правой части системы основных ограничений прямой задачи используются в целевой функции двойственной задачи;
г) коэффициенты из целевой функции прямой задачи используются в правой части системы основных ограничений двойственной задачи;
д) матрица расхода ресурсов транспонируется;
е) целевая функция задачи, двойственной к данной прямой задаче, исследуется на минимум;
г) все основные ограничения данной двойственной задачи представлены неравенствами типа «³»;
д) переменные данной двойственной задачи неотрицательны.
5. Используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найдем оптимальное решение двойственной задачи.
Компоненты оптимального плана двойственной задачи можно найти из итоговой симплекс-таблицы прямой задачи (значения находятся в последней строке симплекс-таблицы в столбцах остаточных переменных):
|
|
|
y 1* = 0; y 2* = 7; y 3* = 1,5; F * = 935.
Величины y 1, y 2, y 3 называют теневыми ценами соответствующих ресурсов.
6. Определим статус ресурсов.
Оптимальные значения остаточных переменных (х 5*, х 6*, х 7*) в итоговой симплекс-таблице определяют величину неизрасходованного остатка соответствующего ресурса. Следовательно, ресурсы Р2 и Р3 израсходованы полностью (их остаток равен нулю: х 6* = 0; х 7* = 0), т.е. являются дефицитными. Ресурс Р1 полностью не израсходован: его остаток равен 75 ед., т.е. является недефицитным (избыточным).
7. Определим, на сколько можно уменьшить запасы недефицитных ресурсов.
Запас недефицитного ресурса Р1 можно уменьшить на величину избытка (на 75 единиц) без изменения значения целевой функции. Остальные ресурсы являются дефицитными и их запасы уменьшать не следует.
8. Определим максимальное приращение дефицитного ресурса Р2.
Пусть запас ресурса Р2 изменился на величину D2. Тогда результирующая симплекс-таблица примет вид (к элементам столбца «Решение» добавляется произведение элементов столбца х 6 (как балансовая переменная соответствует ресурсу Р2) и величины D2):
| БП | Решение | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| x 5 | 75 – 1D2 | 0,5 | –0,5 | –1 | –0,5 | |||
| x 4 | 80 + 1D2 | |||||||
| x 2 | 125 + 0D2 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | ||||
| F | 935 + 7D2 | 4,5 | 2,5 | 1,5 |
Так как введение D2 сказывается только на элементах столбца «Решение», то изменение запаса ресурса Р2 может повлиять только на допустимость решения. Поэтому D2 не может принимать значений, при которых какая-либо из базисных переменных становится отрицательной.
|
|
|
Следовательно, должно выполняться
75 – 1D2 ≥ 0; D2 £ 75;
80 + 1D2 ≥ 0; Þ D2 ≥ –80;
125 + 0D2 ≥ 0; –¥ £ D2 £ ¥.
Откуда –80 £ D2 £ 75. Таким образом, любое значение D2, выходящее за пределы интервала –80 ≤ D2 ≤ 75 (уменьшение запаса ресурса Р2 более, чем на 80 единиц или увеличение более чем на 75 единиц), приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных. Внутри указанного интервала решение всегда будет действительным.
Вывод: запас ресурса Р2 можно увеличить на 75 единиц. При этом значение целевой функции увеличится на 7 ´ 75 = 525 единиц (y 2* = 7 – теневая цена ресурса Р2) и составит 935 + 525 = 1460 единиц.
9. Определим наиболее выгодный ресурс.
Наиболее выгодным является ресурс Р2, так как он имеет наибольшее значение двойственной оценки (теневой цены) y 2* = 7 > y 3* = 1,5 > y 1* = 0. Поэтому при вложении дополнительных средств в первую очередь следует увеличивать запас ресурса Р2.
10. Оценим целесообразность приобретения 3 единиц ресурса P2 стоимостью 18 ден. ед.
При увеличении запаса ресурса Р2 на 3 единицы значение целевой функции (доход предприятия) возрастет на 7 ´ 3 = 21 единицу. При этом дополнительные затраты составят 18 ден. ед. Следовательно, дополнительная прибыль предприятия составит на 21 – 18 = 3 ден. ед. Поскольку дополнительная прибыль положительна (3 > 0), можно сделать вывод о целесообразности приобретения указанного количества ресурса за 18 ден. ед.
11. Установим целесообразность выпуска новую продукцию П5, на единицу которой ресурсы Р1, Р2, Р3 расходуются в количествах 8, 6, 12 единиц, а цена готовой продукции составляет 35 ден. единиц.
Затраты на выпуск новой продукции составят
8 y 1* + 6 y 2* + 12 y 3* = 8 ´ 0 + 6 ´ 7 + 12 ´ 1,5 = 42 + 18 = 60 ден. ед.
Поскольку затраты превышают доход от реализации новой продукции (60 > 35), то новая продукция убыточна и выпускать ее нецелесообразно.
12. Проведем анализ оптимального решения на чувствительность к изменению коэффициента целевой функции при переменной x 2.
Пусть доход, получаемый с единицы продукции П2 изменился на величину D2. Тогда последняя строка результирующей симплекс-таблицы примет вид (к элементам последней строки для небазисных переменных добавляется произведение элементов строки x 2 и величины D2):
| БП | Решение | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | x 7 |
| F | 4,5 + 0,5D2 | 2,5 + 0,5D2 | 7 + 0D2 | 1,5 + 0,5D2 |
Поскольку полученный план должен быть оптимальным, последняя строка симплекс-таблицы не должна содержать отрицательных элементов. Т.е. должно выполняться
4,5 + 0,5D2 ≥ 0; D2 ≥ –9;
2,5 + 0,5D2 ≥ 0; Þ D2 ≥ –5;
7 + 0D2 ≥ 0; –¥ £ D2 £ ¥;
1,5 + 0,5D2 ≥ 0; D2 ≥ –3.
В результате получаем диапазон изменения цены продукции П2: –3 ≤ D2 ≤ ∞. Таким образом, при изменении коэффициента целевой функции при переменной х 2 от 3 – 3 = 0 до 3 + ∞ = ∞ оптимальные значения переменных остаются неизменными.
