Генератор для кривой Пеано

Он состоит из 9 отрезков длины 1/3, соединенных под прямым углом друг к другу. Цифры показывают способ обхода данной кривой. При такой геометрии неизбежны две точки самоконтакта 2-6 и 5-9. В резуль­тате исходный квадрат преобразуется так, как показано на рисунке:

Затем каждый из отрезков образовавшейся фигуры длиной в 1/3 преобразуется подобным же образом, и так до бесконечности. В ре­зультате возникает самоподобная непрерывная кривая, плотно запол­няющая квадратную область с площадью, равной 2 (размерность фигуры - 2). Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано.

Сегодня под кривой Пеано подразумевается любое непрерывное отображение числового отрезка на плоский квадрат.

Это свойство кривых Пеано было применено для построения развертки телевизора с электронно-лучевой трубкой. В пеановских телевизорах помехи сворачиваются по сравнению с обычной строчной разверткой, что должно приводить к большей устойчивости изображения. Развертка кадра представляет собой кривую — траекторию светящейся точки на экране монитора. Число светящихся точек на экране конечно, и электронный луч по очереди освещает эти точки. Поэтому развертка представляет собой цифровую кривую — отображение цифрового (т.е. состоящего из конечного числа точек — пикселей) отрезка на цифровой прямоугольник — экран телевизора. Помеху представим себе как кратковременное нарушение передачи сигнала. Если помеха произошла в некоторый интервал времени, то на экране нарушится изображение на развертке этого интервала, т.е. в той области экрана, которую электронный луч проходит за этот временной интервал. Площадь помехи (количество пикселей экрана, в ней содержащихся) определяется величиной временного интервала помехи и зависит лишь от частоты кадров. Она будет одинакова как для построчной, так и для пеановской разверток, поскольку и та и другая за одинаковое время (время между двумя кадрами) проходят равное число пикселей (количество всех пикселей экрана). Но форма помехи будет существенно различаться. Если для построчной развертки помеха вытягивается вдоль строк через весь экран, то в случае пеановской развертки она сворачивается и может иметь весьма небольшой диаметр.

Для получения фрактальных кривых на плоскости существует простая рекурсивная процедура:

Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.

Реализация такого алгоритма позволяет построить также кривую Коха, придуманную им в 1904 г.

Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870 —1924) — шведский математик.

В статье «Об одной непрерывной кривой, не имеющей касательных...» ( 1904 ) впервые описал кривую Коха — один из самых ранних и самых известных примеров фрактала.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость (размерность 2), кривая Коха имеет дробную размерность 1,2618, бесконечную длину и не имеет касательной.

Таким образом, начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

· множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество;

· треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;

· губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

· кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

· кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать.

Понятия фрактала и, затем, фрактальной геометрии впервые были предложены Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875 – 1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — это сложная, бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Основное свойство фракталов – самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.