Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул, иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции:
Zn+1=f(Zn),
где Z – комплексное число, а f – некая функция.
Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится – на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:
− с течением времени стремится к бесконечности;
− стремится к 0;
− принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
− поведение хаотично, без каких либо тенденций.
Классической иллюстрацией алгебраических фракталов является множество Мандельброта:
Рис. Множество Мандельброта
Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число – это число, состоящее из двух частей – действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а bi – мнимая часть. i – называют мнимой единицей, потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим –1.
|
|
Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень (исключение – операции сравнения).
Геометрическая интерпретация: комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.
Для построения фрактала множества Мандельброта для всех точек на комплексной плоскости в интервале от (–2+2i) до (2+2i) выполняем некоторое достаточно большое количество раз: Zn=Z0*Z0+C, каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение | Zn| > 2, то рисуем точку с цветом, равным номеру текущей итерации, иначе рисуем точку черного цвета (см. рис.).
Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю – это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными, в этих точках функция ведет себя непредсказуемо – хаотично.
Меняя функцию условия выхода из цикла, можно получать другие фракталы. Например, взяв вместо выражения С=a+bi выражение Z0=a+bi, присваивая величине С произвольные значения, мы получим множество Жюлиа. Выбирая для С случайные значения, получаем стохастический фрактал на основе множества Жюлиа.