Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки А на отрезок ВС, зато можем опустить его на прямую ВС — то есть на продолжение стороны ВС.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу С4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника АВС (в котором угол С равен 90°) пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольник АВМ.

∠ МАВ = ∠ ВАС,

∠ АВМ = ∠ АВС, тогда ∠ АМВ = 180° - ∠ МАВ - ∠ АВМ = 180° - (∠ АВС + ∠ ВАС).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен φ.

Угол φ смежный с углом АМВ, следовательно, φ = (∠ АВС + ∠ ВАС).

Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 90°.

Тогда φ = (∠ АВС + ∠ ВАС) = 90°: 2 = 45°.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть СН — высота, проведенная из вершины прямого угла С, СК — биссектриса угла С.

Тогда ∠ АСН = ∠ АВС = 61°,
∠ АСК = 90°: 2 = 45°.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол КСН.

∠ КСН = ∠ АСН - ∠ АСК = 61° - 45° = 16°

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58º и 72º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника АВН (угол Н — прямой) найдем угол ВАН. Он равен 18°.

Из треугольника АВК (угол К — прямой) найдем угол АВК. Он равен 32°.

В треугольнике АОВ известны два угла. Найдем третий, то есть угол АОВ, который и является тупым углом между высотами треугольника АВС:

∠ АОВ = 180° - 18° - 32° = 130°.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен А, угол АВС равен В.

Рассмотрим треугольник АОВ.

∠ ОАВ = ∠ А

∠ АВО = ∠ В, тогда ∠ АОВ = 180° - (∠ А + ∠ В).
Из треугольника АВС получим, что ∠ А + ∠ В = 180° - 58° = 122°.

Тогда ∠ АОВ = 180° - (∠ А + ∠ В) = 180° - 61° = 119°.

Ответ: 119°.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60º, угол B равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол АСВ. Он равен 38°.

Тогда ∠ АСF = ∠ ACB = 19°.

Из треугольника АСF найдем угол AFC. Он равен 101°.

Рассмотрим треугольник АОF.

∠ AFО = 101°, ∠ FAO = ∠ ВАС = 30°. Значит, ∠ AOF = 49°.

Ответ: 49.

6. В треугольнике АВС СD — медиана, угол ACB равен 90º, угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.