Знаходження зусиль в стержнях ферми графічним методом (побудова діаграми Максвелла – Кремони)

11 12 13 14 15 16 17

Перед побудовою діаграми Максвелла - Кремони необхідно провести таку підготовку:

а) виконуємо рисунок ферми відповідно до її геометричних розмірів (рис.4.17)

б)показуємо вектори заданих сил , , і знайдених реакцій і ;

в) позначаємо області між зовнішніми силами: Q, B, V, D, F;

г) позначаємо внутрішні області: К, L, M, N, O, T;

д) позначаємо вузли римськими цифрами: І-VIII;

є) вибираємо обхід зовнішніх сил і вузлів (на рис. 4.17 показано його напрям за годинниковою стрілкою);

ж) вказуємо масштаб сил (в даному випадку в 1 см - 2 кН).

Будуємо діаграму Максвелла - Кремони (рис. 4.18). Креслимо многокутник зовнішніх сил відповідно до вибраного обходу. Цей многокутник позначаємо відповідними великими буквами. Між зовнішими силами ферми знаходяться області Q, B, V, D, F і Q. Одержуємо многокутник зовнішніх сил qbvfdq на діаграмі.

Побудову зусиль в стержнях ферми починаємо із вузла, де сходяться два стержні. Такими вузлами на рис. 4.17 можуть бути вузли І,VIII. Розглядаємо вузол І.

При обході вузла І у вибраному напрямку зустрічаються області Q, K, F і Q. На діаграмі побудований відрізок qf. Через точку q (рис. 4.18) проводимо пряму, паралельну стержню І, а через точку f - пряму, паралельну стержню 8. На перетині цих двох прямих одержуємо точку r. Многокутник qkfq - многокутник сил, прикладених до вузла І. Стержню І відповідає зусилля qk, а стержню 8 - зусилля kf.

При обході вузла II зустрічаються області F, K, L i F. На діаграмі знаходимо відрізок fk, через точку k проводимо пряму, паралельну стержню 9, а через точку f -пряму, паралельну стержню 7. Їх точка перетину l відповідає області L та збігається з точкою k. Многокутник сил

для вузла II - фігура fklf, що показана на діаграмі відрізком kf. Оскільки точки k і l збігаються, то зусилля kl = 0, тоді стержень 9 - нульовий.

Переходимо до вузла III. Сили, що діють на цей вузол, розмежовують

області L,K,Q,B,M i L. Після побудови зусиль вузлів І та ІІ зусилля lk, kq та qb відомі. Тоді через точку проводимо пряму, паралельну стержню 2, а через точку l – пряму, паралельну стержню 10. Їх перетин дає точку m, що відповідає області М. Многокутник сил для вузла ІІІ – lkqbml.

Аналогічними побудовами знаходимо многокутники сил для вузлів, що залишились в такій послідовності: ІV, VІІ, VI. Це многокутники: для вузла ІV – dflmnd, для вузла VIII – dtvd, для вузла VI – bvtob. Залишились два останні вузли V та VІІ.

Для одержання многокутників сил у вузлах V та VІІ достатньо з’єднати точки о і (рис.4.18). Якщо відрізок on буде паралельним стержню І2, то діаграма побудована правильно. Одержуємо силові многокутники: nmbon – для вузла V і notdn – для вузла VІІІ. Побудова діаграми закінчена.

Отримана діаграма Максвелла - Кремони (рис.4.18) дає змогу відшукати значення зусилля в будь-якому стержні ферми, а також його знак. Модуль вимірюється довжиною відрізка і переводом її через масштаб в одиниці сили, а знак – напрямком відрізків на діаграмі.

Приклад. Розглянемо стержень під номером 11 (див. рис. 4.17). Зусилля цього стержня при обході вузла ІV називається . Знаходимо на діаграмі (див. рис. 18) напрямлений відрізок , уявно переносимо напрям з рис. 4.18 на рис.4.17 до вузла ІV. Вектор напрямлений до вузла IV. Якщо зусилля спрямоване до вузла, то стержень під його дією стискується. Тоді стержень 11 стиснутий і знак зусилля від’ємний. Якщо зусилля для будь-якого іншого стержня спрямоване від вузла, то такий стержень розтягнений і його зусилля додатне. Із діаграми на рис. 4.18 маємо, кН:

S₁= qk = 13,4; S₂ = bm =16,1; S₃ = ob = 8;

S₄ = vt = 8; S₅ = dt = -4; S₆ = dn = 10,8;

S₇ = fl = 16; S₈ = kf = 16; S₉ = kl =0;

S₁₀= ml = -13,6; S₁₁ = nm = -7,8; S₁₂= on = 11,2.

Остаточна перевірка виконується при порівнянні зусиль в стержнях, знайдених двома методами: вирізання вузлів і діаграми Максвелла – Кремони. Абсолютна похибка становить в кН: D₁ = D₁₀ = 0,03, D₂ = 0,1; D₄ = D₆ = D₇ = D₈ = D₃ = D₁₁ =0,2; D₅ = 0,24; D₁₂= 0,11; D₉ = D₁₃ = 0.