Аналітичне знаходження опорних реакцій ферми

Креслимо ферму (рис. 4.12), розміщену в системі координат хАу. Показуємо зовнішні сили і реакції в опорних точках А і Е.

Рисунок 4.12

В точці Е реакція напрямлена за стержнем ВЕ, а в нерухомому плоскому шарнірі А реакцію розкладаємо на складові Х_А і У_А. Показуємо на рис. 4.12 кути b та g, знаходимо їх функції від геометричних розмірів: (4.1)

Використовуючи рис. 4.12, складаємо рівняння рівноваги для плоскої довільної системи сил:

S X_i = 0, X_A + R_Bsinb + P₁ + P₃ cosa = 0;

S Y_i = 0, Y_A + R_Bcosb - P₂ - P₃ sina = 0; (4.2)

S M_AI = 0, -P₁× h₁ +R_B cosb×(a₁+b₁) – P₃ sina (a₁+b₁+b₂+a₂) – P₃ cosa×h₁ - – P₂×(a₁+b₁+b₂) = 0.

Розв’язуючи систему рівнянь (4.2) отримаємо:

R_B = [P₁×h₁+P₃×sina(a₁+b₁+b₂+a₂)+P₃×cosa×h₁+P₂(a₁+b₁+b₂)]/(a₁+b₁) ×cosb;

Y_A = =P₂ + P₃×sina - R_B cosb; (4.3)

X_A = -R_B×sinb - P₁ – P₃cosa.

Підставляючи в розв’язки (4.3) дані умови задачі, отримуємо опорні реакції при a = 30°:

Х_А = -25,79 кН, Y_А = -9,6 кН, R_B = 24,89 кН.

Для достовірності розв’язку складаємо перевірочне рівняння рівноваги.

S M_Ci = 0, P₂×a₂ – Y_A(a₁+b₁+b₂+a₂) + X_A×h₁ –

- R_B cosb× (b₂+a₂) + R_B×sinb×h₁ = 0. (4.4)

Із врахуванням отриманих даних та умови задачі маємо:

5×3 + 9,6×12 – 25,79×3 – 24,89× ×6 + 24,89 ×3 = -3,81×10^-6.

Таким чином, опорні реакції знайдено правильно.