Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и Ра (В) известны. Как найти вероятность

совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем

вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

В частности, для трех событий Р(АВС)= Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй —

эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным

(событие А), Р (А) = 3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик конусный, т. е. условная вероятность Р_А(В)=7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А)Р_А (В)=3/10 * 7/9 = 7/30

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:

Р(В)=7/10, Рв (А) = 3/9, Р(В)Рв(А) = 7/30

Пример 2. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое

испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем —синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность Р_АВ(С)=3/IO.

Искомая вероятность Р (АВС)=Р (А) Р_А (В) Р_АВ (С) = 5/12*4/11*3/10) = 1/22.