Переведення числа з десяткової системи числення в двійкову

Теоретичні відомості до ПР1

1. Позиційні истеми числення

Під системою числення розуміють спосіб представлення будь-якого числа за допомогою деякого алфавіту символів, званих цифрами. Системи числення бувають позиційними і непозиційними.

У позиційних системах числення значущість (вага) кожної цифри числа залежить від позиції, яку вона займає. Значення числа, що складається з n цифр, може бути визначено таким чином:

(Х_n-₁Х_n-2Х_n-3Х_n-4 … Х₁Х₀)_m = Х_n-1 ^.m^n-1 + Х_n-2 ^.m^n-2 + … +Х₀^.m⁰

де m — основа системи числення;

х_i — символ в і-й позиції, 0 ≤х і ≤m; 0 ≤ і ≤ (n-1);

mⁱ— вага і-го знакомісця.

Для десяткової системи числення m = 10, символи, що використовуються: 0÷9.

Приклад:

761₁₀ = 7· 10² + 6· 10¹ + 1·10⁰.

i
xi
mi
xi ·mi

Окрім десяткової системи числення широке поширення в інформатиці мають позиційні системи числення з основами 2, 8, 16.

Електронні блоки комп’ютера можуть обробляти інформацію, представлену тільки в цифровій формі, причому зазвичай комп’ютери працюють з двійковою системою числення: m=2; символи 1 і 0.

З погляду електроніки значення одиниці може бути представлено наявністю напруги, потенціалу або струму, а нуль — відсутністю їх.

Розглянемо представлення чисел в двійковій системі числення. Вага знакомісць:

2°=1, 2¹= 2, 2² = 4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2¹⁰=1024, 2¹⁶=65536.

Використання при лічбі десяткової системи стало для людини звичкою, а асоціювання числа цієї системи числення з кількістю об’єктів лічби сформованим і зрозумілим. Натомість числа двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у більшості людей, через відсутність практики використання, погано асоціюються з кількістю об’єктів лічби і тому потребують їх переведення у десяткову систему для усвідомлення.

Переведення числа з десяткової системи числення в двійкову

Переведення числа з десяткової системи в двійкову здійснюється окремо для цілої і дробової частин числа за наступними алгоритмами:

а) ціле десяткове число ділиться порівну на основу 2, потім на 2 діляться послідовно всі частки від цілочисельного ділення, доки частка не стане менша за основу. В результат заноситься остання частка і всі залишки від ділення, починаючи з останнього. Наприклад:

227₁₀= 11100011₂;

б) десятковий дріб послідовно множиться на основу 2, причому відразу після

кожної операції множення одержана ціла частина записується в результат і в

подальшому множенні участі не бере. Процес множення продовжується до зникнення дробової частини числа. Наприклад, для десяткового дробу 0,75:

0,75·2

1,50·2

1,00

Тоді 0,75=0,11₂.

Кількість операцій множення може бути для деяких десяткових дробів нескінченою чи дуже великою. Тоді кількість знаків після коми залежить від необхідної точності, наприклад: 0,63₁₀=0,1010000101000111101₂ з точністю до дев’ятнадцятого знаку після коми:

0,63·2	1,26·2	0,52·2
1,04·2	0,08·2	0,16·2
0,32·2	0,64·2	1,28·2
0,56·2	1,12·2	0,24·2
0,48·2	0,96·2	1,92·2
1,84·2	1,68·2	1,36·2
0,72·2	1,44·2	0,88·2