Анализ выборочного коэффициента корреляции

Этот метод является более точным при установлении линейной корреляции между y и x _j, так как он основан не на визуальном восприятии графического представления случайных чисел, а на математических расчетах и постулатах.

Рассмотрим самый простой случай: корреляцию между двумя случайными величинами (y и х).

Присвоим каждой точке на поле корреляции свой номер i (такой же номер будет и у взаимосвязанной пары координат этой точки). Обозначим N общее число точек с координатами y _i и x _i. Тогда выборочный коэффициент парной корреляции можно рассчитать по формуле

,

где` y - общее среднее арифметическое значение y; ` x - общее среднее арифметическое значение х; S _x и S _y - выборочные абсолютные стандартные отклонения соответственно х и y (эти параметры используются как характеристики рассеивания единичных значений х и y относительно их общих средних арифметических значений).

Общие средние арифметические значения находят по формулам

; .

Выборочные абсолютные стандартные отклонения х и y можно рассчитать следующим образом:

; .

Выборочный коэффициент парной корреляции имеет следующие свойства:

.

Величина r _yx не изменяется при изменении начала отсчета величин, а также масштаба координатных осей y и х.

В величине r _yx одновременно заложена доля случайности и нелинейности связи между y и х.

По величине и знаку r _yx можно сделать большинство выводов корреляционного анализа (табл. 6). Однако выводы корреляционного анализа можно делать только после доказательств равенства или отличия от нуля рассчитанного значения r _yx методами математической статистики (так называемая статистическая проверка нуль-гипотезы). С методами проверки нуль-гипотезы r _yx познакомьтесь самостоятельно в [6,8].

Как следует из табл. 6, значение r _yx позволяет сделать все выводы только в случае линейной зависимости y от х. При нелинейных зависимостях y от х значение r _yx однозначно определяет только их знак, а для формулировки остальных выводов нужно анализировать и поле корреляции. Совместный анализ r _yx и поля корреляции необходим в случае, когда r _yx = 0 (r _yx является "незначимым").

Более сложные случаи корреляционного анализа возникают при влиянии на случайную величину (y) нескольких случайных величин (х ₁, х ₂,... x _j). В такой ситуации анализируют выборочные коэффициенты частной и множественной корреляции. Анализ частных и множественных коэффициентов корреляции позволяет разобраться в ситуации, когда один из факторов не оказывает непосредственного влияния на y, хотя их парный коэффициент корреляции отличен от нуля.

Более подробно с особенностями проведения корреляционного анализа познакомьтесь самостоятельно в [6,8].

Таблица 6

Выводы корреляционного анализа в зависимости от значения r _yx

Выводы корреляционного анализа	Значения ryx
Наличие зависимости между y j и x z: есть	0< или r yx = 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции);
нет	r yx = 0 (при наличии доказательств анализом поля кор­реляции)
Характер и тип зависимости: "функциональная линейная"
"корреляционная линейная"	0< < 1
Знак связи: "положительный"	r yx >0
"отрицательный"	r yx <0
Теснота (сила) линейной корреляционной связи	Определяется близостью к единице модуля r yx и величиной N по усмотрению исследователя