Смысл схемы с разностями против потока

Попытаемся решить задачу, показанную на рис. 5.12,б с помощью схемы с разностями против потока для двух ориентации разностной сетки.

1. Однородный поток в направлении оси x. Рассмотрим случай, показанный на рис. 5.13. Поток направлен строго вдоль оси x, и левая граница имеет известный температурный профиль со скачком.

Поскольку Г=0 и в направлении оси y течение отсутствует, коэффициенты a_N и a_S будут равны нулю. Коэффициент a_E в близлежащей вниз по потоку соседней точке также должен быть равен нулю. Таким образом, a_P должно равняться a_W, что приведет к

Ф _P= Ф _W

Рис 5.13. Случай потока, направленного вдоль оси x: 1 ‑ горячий поток; 2 ‑ холодный поток

В результате данные значения вверх по потоку будут устанавливаться во всех точках вдоль каждой горизонтальной линии. Следовательно, скачкообразный характер профиля температуры, имеющий место в сечениях вверх по потоку, будет сохранен. Поэтому в этом случае искусственная диффузия не появляется.

2. Равномерный поток, направленный под углом 45° к узловым линиям сетки. Для удобства используем равномерную сетку с Dx = Dy. Скорости потока в направлениях осей x и y равны. Результатом этого является равенство коэффициентов a_W и a_S в соседних близлежащих точках вверх по потоку, в то время как значения a_E и a_N в точках вниз по потоку оказываются равными нулю. Таким образом, имеем

Для сетки, показанной на рис. 5.14, разрыв профиля температуры обеспечивается равенством всех температур 100 вдоль левой и 0 вдоль нижней границ. Результат решения во внутренних точках записан около каждой узловой точки. Если схемная искусственная диффузия отсутствует, то сверху от диагонали, направленной из нижнего левого угла, должны получиться значения 100 и значения 0 вниз от диагонали. Фактическое решение дает неточный профиль температуры, подобный тому, какой изображен на рис. 5.12, а.