Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion gehören zu den Rechenoperationen erster Stufe Addition. Man kann die Zahlen addieren: a+b=c.

Durch die Addition faßt man zwei Zahlen so zusammen, daß das Ergebnis ebenso viele Einheiten besitzt wie die beiden gegebenen Zahlen zusammen. Die gegebenen Zahlen werden Summanden oder Glieder, das Ergebnis wird Summe genannt. Die Addition der beiden Zahlen 23 und 19 schreibt man in der mathematischen Form: 23+19=42 (Summand plus Summand = Summe)

In einer Summe darf man die Reihenfolge der Summanden vertauschen, das Ergebnis ändert sich dabei nicht. Die Addition zweier natürlicher Zahlen ist stets ausführbar.

Für die Addition natürlicher Zahlen gelten verschiedene Gesetze: Kommutatives Gesetz: Die Reihenfolge der Summanden hat keinen Einfluß auf das Ergebnis: a+b=b+a. Die Symbole a und b, die man dabei verwendet, gelten für beliebige natürliche Zahlen. Assoziatives Gesetz der Addition: (a+b)+c=a+(b+c). Monotoniegesetz der Addition: aus a<b folgt a+c<c+b (gelesen: aus a kleiner als b folgt a plus c kleiner als b plus c).

Subtraktion. Man kann die Zahl b von der Zahl a subtrahieren. Als Subtraktion im Bereich der natürlichen Zahlen bezeichnen wir die Umkehroperation der Addition. Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Subtraktion: minuend minus Subtrachend gleich Differenz: a-b=c. Die Subtraktion a-b ist dann und nur dann ausführbar, wenn der Minuend größer als der Subtrachend ist: 15-19=6. Ist der Subtrachend kleiner als der Minuend, so erhält man eine natürliche oder ganze positive Zahl. Ist der Subtrachend größer als der Minuend, so erhält man eine ganze negative Zahl.

Allgeimeines über Mathematik

Mathematik bedeutet im Altertum "die Wissenschaft", wie das griechische Wort „mathema“ besagt. Heute verstehen wir unter Mathematik die Lehre von den Zahlen und deren Verknüpfung sowie von den Formen der realen Körper.

Aus praktischen Bedürfnissen hervorgegangen, wurde die Mathematik nach verschiedenen Richtungen entwickelt. Unter Arithmetik verstehen wir die Lehre von den Zahlen, die in der Buchstabenrechnung verallgemeinert wird. Die Algebra beschäftigt sich hingegen speziell mit der Lösung von Gleichungen. Die Formenlehre wird als Geometrie bezeichnet. Der jenige Teil der Geometrie, der sich mit ebenen Gebilden beschäftigt, wird Planimetrie genannt, während der Gegenstand der Stereometrie die Darstellung der räumlichen Gebilde ist. Die mathematische Betrachtungsweise baut auf den einfachsten Grundbegriffen und Grundsätzen, den sogenannten Axiomen auf.

Unter einem Axiom wird ein aus immer wiederholter Erfahrung gewonnener Grundsatz verstanden, der durch Überlegung nicht beweisbar, aber unmittelbar einleuchtend ist. Einer der Axiome ist der Satz: "Zwischen zwei Punkten gibt es nur eine kürzeste Verbindungslinie". Die Verknüpfung dieser Axiome bildet das eigentliche Wesen des mathematischen Lehrgebäudes, in dem Rechenvorschriften und mathematische Gesetze aufgestellt werden. Dabei entwickelt sich die Mathematik wie auch andere Wissenschaften von der lebendigen Anschauung über die durch das Denken erreichte Verallgemeinerung zur Praxis, in der die Überprafung stattfmdet. (Nach Dr. Gabler)

Aus der Entwicklungsgeschichte der Mathematik

Die Geschichte der Mathematik ist eng mit der menschlichen Gesellschaft verknüpft.

Ferner bestimmen einige bedeutende Mathematiker durch ihre richtungsweisende Ideen und Entdeckungen die Entwicklung der Mahtematik entscheidend. Die Mathematik gehört - neben Philosophie, Medizin und Astronomie – zu den ältesten Wissenschaften. Sie erreichte schon im 2. Jahrtausend v. u. Z. in Ägypten und Mesopotamien, aber auch im alten China und Indien einen beachtlichen Reifegrad. Die verwendeten Zahlensysteme standen im engen Zusammenhang mit kommerziellen und militärischen Interessen sowie mit Verwaltungsproblemen. Man kannte Verfahren zur Lösung von Gleichungen, sogar höheren Grades. Die Geometrie diente dem Errichten von Bauwerken, der Feldvermessung und der Orientierung am Himmel. Doch handelte es sich um eine rezeptartige, noch nicht auf Beweisen von explizit angeführten Sätzen aufbauende Mathematik.

Erst mit der Herausbildung der antiken Sklavenhaltergesellschaft im alten Griechenland wurde Mathematik im 6.-5.Jh. v. u. Z. zu einer selbständigen Wissenschaft mit eigenen Methoden und Beweisverfahren; auf dieser Grundlage schuf Euklid (3657-300? v.u.Z.) mit semen «Elementen» (um 325 v.u.Z.) eine bewunderungswurdige Darstellung des damaligen mathematischen Kenntnisstandes. Mit Archimedes (287? -212 v.u.Z.), dem in Geometrie und Mechanik große Entdeckungen gelangen, erreichte die Mathematik der Antike während der hellenistischen Periode ihren Hohepunkt.

Die Durchbildung der Rechenmethoden machte große Fortschritte; von den sog. Rechenmeistern wurde in Deutschland A. Ries (1492 - 1559) am bekarmtesten, der im Erzgebirge wirkte.

Descartes (1596 - 1650) begründete den modernen Rationalismus auf der mathematischen Grundlage der von Galilei (1564 - 1642) geformten Naturwissenschaften. Er gilt als Begründer der analytischen Geometrie.

Bei der Grundlegung der Analysis, in Algebra, in darstellender, analytischer und projektiver Geometrie und Naturwissenschaften wurden bedeutende Fortschritte erzielt. J. Lagrange (1736-1813), G. Monge (1746-1818), J. Fourier (1768-1830), J. V. Poncelet (1788-1867) u.a. leisteten hier und auf anderen mathematischen Gebieten Hervorragendes; viele Mathematiker nahmen aktiv am gesellschaftlichen Leben ihrer bewegten Zeit teil, Sie haben zudem große Verdienste bei der Neugestaltung der mathematischen Ausbildung.

Aus dem 19. Jahrhundert seien folgende Mathematiker genannt: B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831-1916), F. Klein (1849-1925) aus Deutschland, N. I. Lobatschewski (1792-1856), P.L. Tschebyscheff (1821-1894) aus Russland, E. Beltrami (1835-1900), G.Peano (1858-1932) aus Italien. (Nach Dr. Sieber.Grundlagen der Mathematik, Abbildungen, Funktionen, Folgen.)

Gegenstände der Mathematik

Gegenstände der Mathematik sind Zahlen- und Raumgrößen. Die Mathematik zerfällt in reine und angewandte. Die reine Mathematik studiert die mathematischen Objekte für sich und ohne direkte Beziehung zur realen Welt. Die angewandte Mathematik schafft die Möglichkelten für die Anwendung der reinen Mathematik in Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft.

Nach dem Schwierigkeitsgrad der mathematischen Untersuchungen wird die Elementar Mathematik von der höheren Mathematik unterschieden. Am Anfang einer wissenschaftlichen Mathematik stehen Axiome (Grundsätze) und Definitionen (Grundbegriffe). Aus ihnen werden unter Anwendung der Gesetze der Logik und unter Verzicht auf sinnliche Anschauung absolut sichere Aussagen (Lehrsätze) abgeleitet. Jeder Lehrsatz enthält eine Behauptung und Bedarf eines Beweises. Jede einzelne mathematische Erkenntnis baut sich auf vielen anderen auf. Die reine Mathematik hat für ihre exakten Untersuchungen eine besondere, kurze und eindeutige, international gültige Schrift (mathematische Symbolschrift) entwickelt.

Die Mathematik ist wohl das mächtigste Instrument zum Studium der quantitativen Verhältnisse der Natur. Die Mathematik von heute dringt immer tiefer in alle Sphären unseres Lebens ein. Sie hat für die Weiterentwicklung von Technik, Ökonomie, Physik, Biologie, Pädagogik, Linguistik und anderer Wissensgebiete eine große Bedeutung.

Физика-техникалық факультетінің студенттеріне арналған