Доведення

Розглянемо спочатку ствердження (3) для натурального значення аргументу, а саме доведемо, що границя послідовності з загальним членом ,

якщо дорівнює:

. (4)

Проведемо аналіз поведінки послідовності з загальним членом при . Доведемо, що послідовність монотонно зростає. Дійсно, скористаємося формулою бінома Ньютона

або

Із зростанням зростає як число додатних доданків, так і величина кожного доданка, тобто послідовність зростає.

Зробимо оцінку загального члена послідовності :

Отже, маємо суму членів геометричної прогресії з першим членом та знаменником .

або тобто

Отже, послідовність монотонно зростає і обмежена., тобто має границю. Границя числової послідовності дорівнює ірраціональному числу

Можна довести, що функція при також має границю, яка дорівнює .

(5)

Останню рівність можна записати і в такому вигляді:

(6)

де , при