Доведення

Тема Перша та друга важливі границі

Перша важлива границя.

Область застосування першої важливоїграниці – розкриття невизначеності «нуль на нуль», яка породжується функціями, що містять як складову частину тригонометричні або обернені тригонометричні функції.

Теорема. Границя відношення синуса нескінченно малого аргументу до цього ж аргументу дорівнює одиниці:

. (1)

Доведення.

Щоб довести теорему, розглянемо коло одиничного радіуса з центром у початку координат − точці (рис. 1).

Рис. 1. Чверть тригонометричного круга

Візьмемо гострий кут у першій чверті тригонометричного круга, тобто , де , , , . Порівнюючи площі трикутника , кругового сектора і трикутника , отримуємо:

Þ .

Замінюємо члени нерівності оберненими величинами і, з урахуванням умови , одержуємо нерівність: .

Зауважимо, що дані нерівності виконуються і для , тому що функції і - парні. Переходячи до границі при , будемо мати:

Þ Þ .

Таким чином, для границі справа співвідношення (1) доведено. Для лівосторонньої границі, коли , в силу парності функцій та приходимо до того ж результату, адже .

Зауважимо, що аргументом під знаком синуса може бути довільна нескінченно мала при . Отже, маємо узагальнення формули (1):

. (2)

Друга важлива границя.

Область застосування другої важливої границі – розкриття невизначеності «одиниця у степені нескінченність», яка породжується степенево-показниковими функціями .

Теорема. Границя степенево-показникової функції при прямуванні аргументу , , дорівнює числу :

. (3)