Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:

, (6.1)

где du/dy – градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между t и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 6.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (6.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса:

1. Стационарно реологические жидкости – касательное напряжение зависит только от градиента скорости:

. (6.2)

2. Нестационарно реологические жидкости – связь между t и du/dy зависит от времени действия напряжений

. (6.3)

3. Вязкоупругие жидкости – среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости более сложная; она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости

Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (6.2), можно выделить три типа:

1. Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (6.2) имеет вид при t>t₀, (6.4)

при t£t₀.

Рис. 6.1. Зависимость касательного напряжения t от градиента скорости:

жидкость: 1 – дилатантная; 2 – ньютоновская; 3 – псевдопластичная; 4 – вязкопластичная

Графическое представление этой зависимости, называемое реологической кривой, приведено на рис. 6.1 (кривая 4 ). В равенство (6.3), кроме коэффициента вязкости m, входит также постоянная t₀,называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при t£t₀ жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязкопластичной жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению t, меньшему t₀. Когда t становится больше t₀, структура разрушается.

2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для ряда сред связь между напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной с угловым коэффициентом от 0 до 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость

, (n < 1), (6.5)

где k и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k – мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской. Типичная реологическая кривая (6.4) псевдопластичной жидкости приведена на рис. 6.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.

Указанные реологические соотношения можно привести к ньютоновскому виду путем введения понятия кажущейся вязкости m*, как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

.

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (6.4), эта величина и так как n <:1, то m* убывает с возрастанием градиента скорости.

3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (6.4), но при n >1. Кривая течения представлена на рис. 6.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость m*увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.

В зависимости от вида неньютоновской жидкости по-разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости (6.3) в пористой среде записывается в виде:

u >0; (6.6)

, u =0,

где – – предельный (начальный) градиент.

В соответствии с (6.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где ½gradp½>g (рис. 6.2, кривая 1 ). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 6.2. Для сравнения на рис. 6.2 показана диаграмма ньютоновской жидкости по закону Дарси (кривая 3 ).

Рис. 6.2. Индикаторные линии:

1 – линейная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 – реальная неньютоновская жидкость; 3 – ньютоновская по закону Дарси

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т.е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

Так в пластах со слоистой неоднородностью предельные градиенты различны для разных пропластков – чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент g, и наоборот. В связи с этим, пропластки будут последовательно включаться в работу по мере того, как градиент давления будет превышать величины соответствующих предельных градиентов сдвига.

Наряду с рассмотренным законом фильтрации (6.6), описывающим течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:

, (6.7)

где С – экспериментальная константа; n >0.

Степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду (6.4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.