Взаємне положення площин. Перша позиційна задача

Дві площини у просторі можуть перетинатися або бути паралельні.

Ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої площини, то площини паралельні між собою (рис.2.1).

Символьний запис:

(a || m; b || n) → α (a ∩ b) || β(m ∩ n)

Рисунок 2.1 – Приклад паралельних площин

Перша позиційна задача – задача пошуку лінії перетину двох площин. Основні випадки:

· обидві площини займають окреме положення;

· одна з площин займає окреме положення, а друга – загальне положення;

· обидві площини займають загальне положення.

В першому випадку побудова проста, оскільки проекції лінії перетину або збігаються із слідами площин або паралельні їм.

В другому випадку, якщо одна з площин займає окреме положення, то одна з проекцій лінії перетину збігається зі слідом цієї площини, а інша проекція лінії перетину визначається за умови належності до площини загального положення (рис.2.2, 2.3).

а) б)

Рисунок 2.2 – Приклад перетину горизонтальної площини α з площиною β, що задана трикутником

а) б)

Рисунок 2.3 – Приклад перетину горизонтальною площиною площини загального положення, що задана слідами

В третьому випадку для пошуку проекцій лінії перетину необхідно застосувати такий алгоритм (рис.2.4, 2.5).

Алгоритм розв’язування першої позиційної задачі:

1. Вводимо допоміжну площину окремого положення (α(α₂)).

2. Знаходимо лінію перетину введеної допоміжної площини з кожною із заданих площин (α ∩ β → ℓ; α ∩ γ → m).

3. Знаходимо точку перетину ліній, що отримані в п.2 (ℓ ∩ m → К(К₁).

4. Визначаємо іншу проекцію знайденої точки К(К₂).

5. Повторюємо пп. 1-4 для другої допоміжної площини (σ(σ₂)).

6. З’єднуємо отримані точки (КN (К₁N₁, К₂N₂).

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 4 алгоритму)

Рисунок 2.4 – Приклад побудови лінії перетину площин загального положення (пункти 1 – 6 алгоритму)