Вывод формулы

Вывод формулы базируется на тригонометрии и теореме Пифагора в рамках школьной программы (рисунки из Wikipedia)

где

• a = W_R или W_L (расстояние от центра до фланца втулки)
• r ₁ = D_R или D_L (диаметр фланца)
• r ₂ = ERD (эффективный (эквивалентный) диаметр обода)
• m = количество спиц на одной стороне колеса = N/2
• k = количество крестов
• ? = 360° k / m, например, 3*360°/18 = 60°.

? - угол между прямыми от оси втулки к месту спицы в ободе и от оси втулки к месту спицы во фланце. Эта часть формулы наиболее трудна для понимания.

Угол этот зависит от количества отверстий (спиц) и количества крестов. Чем больше крестов, тем больше этот угол. Чем больше спиц для данного количества крестов, тем меньше этот угол, поскольку дуга между соседними спицами представлеят меньшую долю всей окружности. Для 36 спиц, собранных в 3 креста этот угол равен 60 градусам, для 36 спиц, собранных в 4 креста этот угол равен 80 градусам.

Метод вычисления этого угла довольно хитроумен. Ключем к понимаю является расположение на ободе двух соседних спиц на фланце, идущих в противоположные стороны. Назовем такие спицы "граничными". Посчитаем количество отверстий в ободе между ними. В колесе, собранном в 3 креста, между "граничными" спицами на ободе будет еще ровно 13 спиц - 6 с того же фланца и 7 с другого. Можно понять почему между "граничными" спицами получается еще ровно 6 спиц с той же стороны фланца - каждая граничная спица должна пересечься с еще тремя спицами. Таким образом между "граничными" спицами должно быть 6 отверстий или 7 промежутков. В середине каждого промежутка есть отверстие для спицы с противополжного фланца. Итого выходит 13 спиц или отверстий должно быть между "граничными" спицами в колесе, собранном в 3 креста.

Теперь главная "хитрость". Зададимся вопросом: для любой "граничной" спицы как далеко (по углу) впереди (или позади) находится отверстие в ободе по отношению к отверстию во втулке (имея ввиду, что отверстия расположенные на одном радиусе (из центра втулки) находятся ни впереди ни позади).

Рассмотрим "центральную" спицу из этих 13-ти, которая идет к противоположному фланцу, по отношению к фланцу наших "граничных" спиц. Из соображений симметрии следует ожидать, что радиус, делящий угол между отверстиями для граничных спиц пополам, должен пройти точно через "центральную" спицу. Теперь мысленно повернем этот радиус вперед (по часовой стрелке) на половину угла между отверстиями во фланце втулки, что составит ровно одно отверстие вперед (по часовой стрелке) в ободе. Теперь мы имем радиус, проходящий через отверстие "граничной" спицы во фланце, что точно соответсвует тому углу?, который нам необходим. Поскольку сначала этот радиус был на 7 отверстий в ободе впереди от истинного граничного отверстия в ободе, то после поворота его в сторону "граничного" отверстия осталось 6 промежутков. 6 дуг (промежутков) во втулке - это 6/36 - 1/6 * 360 = 60 градусов.

Таким образом мы доказали, что угол? всегда есть число крестов умноженное на угол между соседними отверстиями одной стороны фланца или, что то же самое между отверстиями для спиц одной стороны в ободе. Например, для 36 спиц и 3 крестов угол между соседними отверстиями одной стороны фланца 360/18 = 20 градусов, и искомы угол равен 60 градусам. Для колеса в 4 креста осталось бы 8 спиц в промежутке, 8/36 - 1/4 * 360 = 80 градусов.

Формула рассчитыват диагональ воображаемого параллелепипеда.

Рассмотрим проекцию колеса на плоскость перпендикулярную оси спицы, где ниппель рассчитываемой спицы находится наверху. Эта спица и есть проекция диагонали воображаемого параллелепипеда. Параллелепипед имеет глубину a (Wx), на риснке не видна - находиться в перпендикулярной плоскости, высоту r₂-r₁cos(?) и ширину r₁sin(?).

Простая тригонометрическая формула используется для вычисления длины проекции спицы на плоскость колеса, как показано на рисунке.

Для вычисления собственно длины спицы (диагонали воображемого параллелепипеда) применим теорему Пифагора.

Итог выглядит так:

Подробно о расчете длины спиц с выводом формулы с иллюстрациями на сайте Robert Torre (на английском языке)