Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента. Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) Р(n), зависящие от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

P(1) является истинным предложением (утверждением);

1. P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P (n+1) – истинное предложение (утверждение)

Таким образом метод математической индукции предполагают два этапа:

1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P (1)

2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P (n) истинно, и доказывается истинность предложения P (n+1) (n увеличению на единицу.

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

Пусть m – натурально число, m > 1 и P(n) – предложение, зависящее от n, n ≥ m

Если:

1. P (m) справедливо;

2. P (n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P (n+1) для любого натурального числа n, n ≥ m, тогда P (n) – истинное предложение для любого натурального n, n ≥ m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства:

а). 1+2+3+…+n =

b). 1+3+5+…+ (2n-1) =

c). + + +…+ =

d). + + +…+ = [

e). 1*2+2*3+3*4+…n(n+1)=

f). + +…+ -

g). формула бинома Ньютона = + C b+…+ C +…+ C + a,b є R

Решение. а). При n = 1 равенство примет вид 1 = *1 = 1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место 1 + 2 +3+… n= .
Следует проверить (доказать), что P(n+1), то есть
1+ 2 + 3 + … n + (n+1) = –

Истинно. Поскольку используется предположение индукции.

1+2+3+…+n+(n+1)- + (n+1),
Получим
1+2+3+…+ (n+1) = + (n+1) ( +1) =

То есть, P(n+1) – истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1+2+3+…+n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом = 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы ( * n), то получим = * n.

b). При n = 1 равенство примет вид: 2*1 -1 = или 1 = 1, то есть Р(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство: 1+3+5+…+(2n-1) =

и докажем, что имеет место P(n+1):

1+3+5+…+(2n-1) +(2(n+1)-1) =

или

1+3+5+…+ (2n-1) +(2n+1) =

Используя предположение индукции, получим

1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1) = + (2n+1) =

Таким образом, P(n+1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования математической индукции.
17

с). При n = 1 равенство истинно: = *1 = 1. Допустим, что истинно равенство
и покажем, что =
то есть истинность P (n) влечет истинность P (n+1). Действительно, = + =
= (n+1) [ + (n+1) ] = [ n(2n+1) + 6(n+1) ] = ( +7n+6)
и, так как + 7n+6 = (2n+3) (n+2), получим =
и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d). При n = 1 равенство справедливо: - [ * 1 = 1. Допустим, что имеет место + … + = [
и докажем, что + …+ = [

Действительно. = [ + = [ +(n+1)] = ( +4n+4) = =

е). Утверждение Р(1) справедливо: 1*2 = 2=2. Допустим, что равенство 1*2+2*3+…+n (n+1) =

Справедливо, и докажем, что оно влечет равенство

1*2+2*3+…+n (n+1)+ (n+2) =

Действительно,

1*2+2*3+…+n (n+1)+ (n+1)(n+2) = + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)( +1) =
=

Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f). P(1) справедливо: = * = . Пусть имеет место равенство Р(n): + +…+ =

Покажем, что последние равенство влечет следующее:

+ +…+ + =

Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим

+ +…+ + = + = =
= = =

Таким образом равенство доказано.

g). При n = 1 имеем a+b+a и, следовательно, равенство справедливо.

Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть +C b+…+

Тогда = (a+b) = ( +C b+…+

+ (1+ C ) b+ (C C ) +…+ (C C +

+…+

Используя равенство C C = получим = + C + + C + +…+ +…+