Ковариация

Пример. Пусть сравниваемые критерии имеют нормальное распре­деление

тогда

где — ковариация. Использование зависимых испытаний дает выигрыш в точ­ности сравнения дисперсий независимо от знака корреляции. Восполь­зовавшись оценкой

можно организовать последовательную процедуру сравнения дисперсий для вари­антов системы и .

Таким образом, при таком подходе к уменьшению дисперсии задача состоит в специальном построении моделирующего алгорит­ма системы , позволяющего получить положительную корреля­цию, например, за счет управления генерацией случайных величин. Вопрос об эффективности использования метода уменьшения дис­персии может быть решен только с учетом необходимости допол­нительных затрат машинных ресурсов (времени и памяти) на реа­лизацию подхода, т. е. теоретическое уменьшение затрат машинного времени на моделирование вариантов системы (при той же точно­сти результатов) должно быть проверено на сложность машинной реализации модели.

Проблема выбора правил автоматической остановки имитаци­онного эксперимента с моделями системы.

Простей­ший способ решения проблемы — задание требуемого количества реализации (или длины интервала моделирования ).

Другой способ — задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машин­ной модели при достижении заданного доверительного интерва­ла, что позволяет теоретически приблизить время прогона к опти­мальному. При практической реализации введение в модель правил остановки и операций вычисления доверительных интерва­лов увеличивает машинное время, необходимое для получения од­ной выборочной точки при статистическом моделировании.

Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель такими способами:

1) путем двухэтапного прове­дения прогона, когда сначала делается пробный прогон из реализаций, позволяющий оценить необходимое количество реали­зации (причем, если , то прогон можно закончить, а в про­тивном случае необходимо набрать еще реализаций);

2) пу­тем использования последовательного анализа для определения минимально необходимого количества реализации , которое рассматривается при этом как случайная величина, зависящая от результатов предыдущих реализаций (наблюдений, испыта­ний) машинного эксперимента.

Рассмотрим особенности последовательного планирования ма­шинных экспериментов, построенных на последовательном анали­зе. В последовательном анализе объем выборки не фиксирован, а после i-ro наблюдения принимается одно из следующих решений: принять данную гипотезу, отвергнуть гипотезу, продолжить испы­тания, т. е. повторить наблюдения еще раз. Благодаря такому под­ходу можно объем выборки существенно уменьшить по сравнению со способами остановки, использующими фиксированный объем выборки. Таким образом, последовательное планирование машин­ного эксперимента позволяет минимизировать объем выборки в эксперименте, необходимой для получения требуемой при исследо­вании системы информации. Построив критерий, можно на каж­дом шаге решать вопрос либо о принятии нулевой гипотезы , либо о принятии альтернативной гипотезы , либо о продолжении машинного эксперимента. Последовательное планирование машин­ного эксперимента использует принцип максимального правдопо­добия и последовательные проверки статистических гипотез.

Пусть распределение генеральной совокупности характеризует­ся функцией плотности вероятностей с неизвестным параметром . Определяются нулевая и альтернативная гипотезы и Гипотезы проверяют на основании выборки нарастающего объема . Можно записать: вероятность получения данной выборки при условии, что верна гипотеза (правдоподобная выборка); вероятность полу­чения выборки при условии верности гипотезы . Процедура проверки строится на отношении правдоподобия .

Последовательный критерий отношения вероятностей строится следующим образом. На каждом шаге машинного эксперимента определяются и , а также проверяется условие: если то принимается если <A или >B, то эксперимент продолжается и, наконец, если то принимается где .

Для сходимости критерия необходимо, чтобы где —вероятность ошибки первого рода; —веро­ятность ошибки второго рода.

Данный метод позволяет снизить среднее число реализаций в машинных экспериментах по сравнению с использованием фикси­рованных объемов выборки (при одинаковых вероятностях оши­бок). Примером применения метода может служить проверка ги­потезы о среднем значении величины, распределенной по нормаль­ному закону.

Пример. Пусть для случайной величины известна дисперсия и неиз­вестно среднее . При этом нулевая гипотеза альтернативная Если верна, то вероятность ее отвергнуть равна . Если верна гипотеза , то вероятность принять ее равна . В случае ни одна из гипотез не принимается.

Для нормального распределения

Критерий проверки гипотезы строится по следующему правилу: если

то наблюдение продолжается.

Для математического ожидания числа наблюдений при условии верности и соответственно можно записать

где —число наблюдений;

.

Можно записать так как для гипотезы и для гипотезы

Тогда

Применение данного метода по сравнению с фиксированным объемом выборки дает уменьшение числа реализаций при стати­стическом моделировании более чем в два раза.

Для проверки гипотезы о среднем для случайных величин с нормальным законом распределения, неизвестным средним и не­известной дисперсией можно использовать следующую процеду­ру. Проверяют гипотезы и Необходимо, чтобы вероятность отвергнуть при была и вероятность принять при была .

На первом шаге берут выборку размером и вычисляют выбо­рочную дисперсию

где число выбрано таким, чтобы выполнялось условие

где

Затем последовательно проводят по одному эксперименту. При выполнении условия

эксперимент прекращают и гипотезу отвергают.

Гипотезу принимают, если

где

Таким образом, чем сложнее машинная модель , тем важнее этап тактического планирования машинного эксперимента, выпол­няемый непосредственно перед моделированием на ЭВМ системы . Процесс планирования машинных экспериментов с моделью итерационен, т. е. при уточнении некоторых свойств моделируемой системы этапы стратегического и тактического планирования экспериментов могут чередоваться.

Контрольные вопросы и задачи

16.1. Какая цель ставиться перед стратегическим планированием модельного эксперимента?

16.2. Какая цель ставиться перед тактическим планированием модельного эксперимента?

16.3. Что такое стохастическая сходимость и каковы пути её ускорения?

16.4. Какие проблемы решаются при тактическом планировании машинно-модельного эксперимента?

16.5. Из каких соображений должно выбираться количество реализаций при одном прогоне имитационной модели?

16.6. Какие функции в MATLAB используются для планирования модельного эксперимента?