Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:

n Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0.

n При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется.

n Средняя от постоянной величины равна ей самой.

n Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.

n Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину.

n Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз.

n Средняя суммы равна сумме средних.

n Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины.

Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

--

X = m₁ * i + A,

(x - A) f

å ----------- * ------

I k

где m₁ = -----------------------------------;

f

å ----

K (6.4.1)

m₁ - момент I порядка.

(x - A) f

å ----------- * ------

-- å x_i * f_i i k

X = ------------- = -------------------------------- * i + A = m₁ * i + A,

å f_i f

å ----

K (6.4.2)

где A – середина центрального (при нечетном количестве) интервала или интервала с наибольшей частотой;

i – общее кратное для x;

k – общее кратное для f.

Пример:

Зарплата, руб. x	Число работников, чел. f	f / k	x - A / i	(x - A) / i * f/k
			- 2	- 2
			- 1	- 2
Итого	90	9	0	- 1

k = 10, A = 1200, i = 300.

1 -- 1

m₁ = - ----- Х = - ---- * 300 + 1200 = - 33,3 + 1200 = 1166,6 руб.

9 9

В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней для всей совокупности исходя из средних величин для отдельных частей этой совокупности. В этом случае среднюю величину определяем так:

–

-- å x_i * f_i

X_общая = ------------.

å f_i (6.4.3)