Приклад 1. Методом випадкової вибірки було взято для перевірки ваги 200 шт. деталей. В результаті було встановлено, що середня вага деталі 30г, при середньоквадратичному відхиленні 4г.
З ймовірністю 0,954 потрібно визначити границі, в яких знаходиться середня вага деталі в генеральній сукупності.
За умовою задачі:
= 30г.
n = 200
σ = 4г.
Р = 0,954
t = 2,0
Згідно з формулою 7.9 середня вага деталі в генеральній сукупності буде знаходитися в межах:
.
Для визначення меж потрібно в першу чергу розрахувати :
звідси:
,
тобто з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, що середня вага однієї деталі в генеральній сукупності буде знаходитися в межах 29,44 – 30,56.
Приклад 2. При дослідженні 100 зразків виробів, відібраних із партії у випадковому порядку, 20 виявились нестандартними. З ймовірністю 0,954 визначити межі, в яких знаходиться частка нестандартної продукції в генеральній сукупності.
За умовою задачі:
n = 100
m = 20
Р = 0,954
t = 2,0
Згідно з формулою 7.10 частка нестандартної продукції у генеральній сукупності буде знаходитися в межах:
|
|
.
Частка нестандартної продукції у вибірці становить:
.
Гранична помилка частки дорівнює:
.
Частка нестандартної продукції в генеральній сукупності буде знаходитися в межах:
тобто з ймовірністю 0,954 частка нестандартної продукції в генеральній сукупності буде знаходитися в межах 0,12 - 0,28.
Для серійної вибірки узагальнюючі характеристики визначаються за такими формулами:
середня
– повторна вибірка, (7.11)
– безповторна вибірка, (7.12)
частка
– повторна вибірка, (7.13)
– безповторна вибірка, (7.14)
де – міжсерійна дисперсія;
s – число відібраних серій;
S – загальне число серій в генеральній сукупності;
– міжсерійна (міжгрупова) дисперсія частки, яка визначається за формулою:
,
де рі – частка ознаки в і-й серії;
– частка ознаки для всієї серії.
Середня гранична помилка для серійної вибірки визначається як добуток середньої помилки вибірки (формули 7.11, 7.12, 7.13, 7.14) на коефіцієнт довіри t.
В таблиці 7.2 наведені середні граничні помилки для серійної вибірки.
Таблиця 7.2 - Середні граничні помилки для серійної вибірки
Узагальнювальні характеристики | Схема відбору | |
повторна | безповторна | |
Середня | ||
Частка |
Визначення меж, в яких знаходиться середня в серійних вибірках, розглянемо на прикладі.
Із сукупності, що розбита на 100 рівних по величині серій, методом механічного відбору відібрано 10 серій. Міжсерійна дисперсія дорівнює 20, а середня величина ознаки у вибірці – 140. З ймовірністю 0,997 визначити межі, в яких знаходиться середня в генеральній сукупності:
За умовою задачі:
S = 100
|
|
s = 10
δ2 = 20
Р = 0,997
t = 3,0
Середня находиться в межах:
.
Середня гранична помилка для серійної вибірки:
Отже, середня величина ознаки в генеральній сукупності з ймовірністю 0,997 буде в межах 136-144 одиниць.
8.4 Визначення необхідної чисельності вибірки
Важливим моментом при плануванні і організації вибіркового спостереження є визначення необхідної чисельності вибірки, тобто такий обсяг вибіркової сукупності, який забезпечує необхідну точність і репрезентативність результатів.
Необхідна чисельність вибірки визначається на основі формул середньої граничної помилки (таблиця 7.3).
Таблиця 7.3 - Визначення обсягу вибіркової сукупності
Способи відбору | Схема відбору | |
повторна | безповторна | |
Механічний відбір: при визначенні середньої | ||
при визначенні частки | ||
Серійний відбір: при визначенні середньої | ||
при визначенні частки |
Визначення обсягу вибіркової сукупності розглянемо на прикладі.
Для визначення середньої довжини деталі необхідно провести вибіркове спостереження методом повторної випадкової вибірки.
Яку кількість деталей необхідно відібрати, щоб з ймовірністю 0,954 (t=2) помилка вибірки не перевищувала 2мм при середньоквадратичному відхиленні 8мм.
Для повторної вибірки при визначенні середньої помилки:
шт.