Автокорреляция между членами ряда

Статистика 8.

При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи между последующим членом динамического ряда (т.е. временн о го ряда) и предыдущим, т.е. оценить взаимосвязь внутри ряда со сдвигом по времени. Для такой оценки и существует статистический метод автокорреляции. При этом следует учитывать, что применение парного коэффициента корреляции для динамических рядов правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из рядов отсутствует автокорреляция. Вид автокорреляции определяет наличие или отсутствие следующих компонент: тенденции, цикличности и случайности. Для расчета коэффициента автокорреляции r (τ) необходимо сначала выбрать временной шаг или период (лаг) соотношения данных из искомого ряда. В нашем случае лаг (τ) принимаем равным τ = 1 году. Для расчёта готовим таблицу № 16 на основе неранжированного ряда (первый шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+1 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+1 – Х ср.)
			∑

Рассчитываем r (1х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+1 – Х ср.) / (N – τ)·σ²(х); r (1х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ = 2, для чего готовим таблицу №17(второй шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+2 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+2 – Х ср.)
			∑

r (2х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+2 – Х ср.) / (N – 2)·σ²(х); r (2х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ =3, для чего готовим таблицу №18(третий шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+3 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+3 – Х ср.)
			∑

r (3х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+3 – Х ср.) / (N – 3)·σ²(х); r (3х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ = 4, для чего готовим таблицу №19(четвёртый шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+4 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+4 – Х ср.)
			∑

r (4х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+4 – Х ср.) / (N – 4)·σ²(х); r (4х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ = 5, для чего готовим таблицу №20(пятый шаг)

Х i	Хi – Х ср.	Хi+5 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+5 – Х ср.)
			∑

r (5х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+5 – Х ср.) / (N – 5)·σ²(х); r (5х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ = 6, для чего готовим таблицу №21(шестой шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+6 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+6 – Х ср.)
			∑

r (6х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+6 – Х ср.) / (N – 6)·σ²(х); r (6х) =

Следующий коэффициент рассчитываем для τ = 7, для чего готовим таблицу №22(седьмой шаг):

Х i	Хi – Х ср.	Хi+7 – Х ср.	(Хi –Х ср.)(Хi+7 – Х ср.)
			∑

r (7х) = ∑ (Хi –Х ср.)(Хi+7 – Х ср.) / (N – 7)·σ²(х); r (7х) =

Аналогично проводим расчеты для временного ряда У (восьмой – четырнадцатый шаг)

r (τy) = ∑ (Yi –Yср.)(Y i+1 –Yср.) / (N – 1)·σ²(y); r (1y) = и т.д. до r (7y)

Для проведения анализа строим автокорреляционную функцию (коррелограмму), где по симметричной оси ординат отложены значения r (τ) от -1 до 1, а по оси абсцисс – значения τ.

Если максимальное значение в коррелограмме имеет r (1) с малыми значениями r (2) – r (7) по модулю, то исследуемый ряд предположительно содержит только тенденцию Если имеются значительные экстремумы в значениях r(2) – r (7), то ряд предположительно содержит цикличность (периодичность) с периодом равным τ данного экстремума. Необходимо проверить значимость экстремумов с использованием оценки ошибки коэффициента автокорреляции данного экстремума:

δrτ = √(1 - r²τ)/(N – τ – 2) корень над всем выражением; t эмп.= r (τ) / δrτ сравнивается с t табл.

Если t эмп > t табл., то коэффициент автокорреляции статистически значим. В ином случае наоборот.

Если ни один из r (τ) не является значимым, то можно сделать одно из предположений:

- либо исследуемый ряд не содержит ни тенденцию, ни цикличность (периодичность), а его вид определяется только случайной компонентой;

- либо ряд содержит сильнейшую нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ с подборочной аппроксимацией вида связи.