Почему математика устроена аксиоматически?

Для начала приведем несколько "аксиом", которые вне геометрии принято называть "исходными правильными формулами".

Рассмотрим три выражения: 1 + 1 = 2; 1 + 1 = 1; 1 + 1 = 0.

Все три приведенные выше формулы представляют собой иллюстрацию алгоритмически неразрешенных проблем. Можно ли доказать "истинность" этих "исходных правильных формул"? Философская наивность Д.Гильберта в попытках доказать "непротиворечивость арифметики" - естественное следствие членения наук по "факультетам". Не менее наивно представление о выпускнике философского факультета университета, что дипломант имеет не руках удостоверение "философа". Как математика, так и философия развиваются человечеством уже много более двух тысячелетий и имеются трудности в освоении этих двух областей.

Все три приведенные формулы мы можем привести к общему виду. Для этого заменим одинаковые выражения в левых частях буквой А. Поскольку все правые части отличаются по написанию от левой, а также друг от друга, то заменим их буквами B, C, D соответственно:

A = B; A = C; A = D.

Следуя за Гильбертом (но не за Брауэром и Вейлем), попробуем использовать принцип "исключенного третьего".

Относительно любой буквы справа мы можем задавать вопрос: "Есть ли она буква А "или" не-А?" Совершенно очевидно, что мы три раза получим ответ: "не-А"!

Запишем этот результат. Все формулы приобретают один и тот же вид:

А = не-А; А = не-А; А = не-А.

Нетрудно видеть, что ЛЮБАЯ ИСХОДНАЯ ПРАВИЛЬНАЯ ФОРМУЛА, у которой правая часть от знака равенства только ПО НАПИСАНИЮ отличается от левой части от знака равенства, в соответствии с "законом исключенного третьего" будет приведена к ПРОТИВОРЕЧИЮ. Этот факт был всегда известен серьезным математикам, что привело к предложению О.Веблена и Дж.Юнга в их "Проективной геометрии" начала нашего века заменить математический термин "аксиома" на более подходящий термин "ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ".

Однако, как известно тоже около двухсот лет в философии, каждому ПОЛОЖЕНИЮ соответствует некоторое ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЕ (по-немецки первому соответствует термин "Satz", а второму "Gegensatz"), что предполагает НЕОБХОДИМОСТЬ рассматривать КАЖДОЕ положение вместе с его противоположением. Если классические аксиомы геометрии, как систему предположений, отождествить с именами творцов математики, то мы получим СДВОЕННЫЕ геометрии: Евклидова и не-евклидова, Архимедова и не-архимедова, Дезаргова и не-дезаргова, Паскалева и не-паскалева, и т.д.

В философии за термином "КАТЕГОРИАЛЬНАЯ ПАРА" стоит утверждение, в котором встречаются ДВА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПРЕДИКАТА. Именно противоположные предикаты и носят название "категориальных пар". Первый шаг к рассмотрению "категориальных пар" в математике был совершен Н.И.Лобачевским и Я.Бойяи. Но это и был тот шаг, который демонстрирует ПЕРЕХОД от традиционной математической логики к логике диалектической. Про последнюю наговорено столько нелепостей, что о ее значении для МАТЕМАТИКИ почти ничего не известно. Диалектическая логика - это логика, которая относится ТОЛЬКО к аксиомам или ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМ математических теорий. Лучше всего об этом в своем философском конспекте писал Н.И.Лобачевский:

"Общая логика называется также АНАЛИТИКОЮ, равно как и прикладная логика - ДИАЛЕКТИКОЮ". (Н.И.Лобачевский. Научно-педагогическое наследие... М.: Наука, 1976. С. 581.)

В этом же конспекте он демонстрирует полное понимание различия мира математических объектов от объектов окружающего мира: он понимает, что математические следствия из математических предположений всегда были, есть и будут "истинными в математическом смысле". Но наличие ВОЗМОЖНОГО противоречия выводов из математической теории с реальностью только указывает, что мы используем теорию за границами нами же установленных ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. Аналогичную позицию по отношению к математическим теориям занимал и Дж.К.Максвелл. Только удержание в поле зрения как положений, так и противоположений, ОБЕРЕГАЕТ наше математическое мышление от догматизма. Здесь же и расположена область математического творчества: либо мы рассматриваем в известной области некоторое противоположение, на которое ранее не обращалось внимания, либо мы порождаем новую аксиоматическую пару, создавая новое математическое направление.

Учитывая, что в основаниях геометрии Д.Гильберта представлено всего 16 аксиом, то, рассматривая их парами, мы можем получить 216 геометрий! Но мы до сих пор не научились "узнавать их в лицо". Здесь и случилось то, что "освоив" аксиоматический метод, некоторые "математики", как правильно заметили Н.Бурбаки в своей "Архитектуре математики", кинулись "творить". Он пишет:

"Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцвета уродливых структур, ПОЛНОСТЬЮ ЛИШЕННЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ". (Н.Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИИЛ, 1962. С. 257.)

Основной вывод из этого раздела состоит в том, что любое высказывание, утверждение или ПОЛОЖЕНИЕ, высказанное на естественном языке, не является той ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ, в которой выражается ИСТИНА. Не существует НИ ОДНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ ("ПОЛОЖЕНИЯ"), которое может быть ФОРМОЙ выражения ИСТИНЫ. Значительно труднее освоить ОТРИЦАНИЕ этого положения, выраженное в диалектической форме. Всякая исходная логическая форма, содержащая ПРОТИВОРЕЧИЕ, является той формой, в которой фиксируется "исходная правильная формула". Мы это демонстрировали в виде трех формул в начале этого раздела:

1 + 1 = 2; 1 + 1 = 1; 1 + 1 = 0.

Математический СМЫСЛ этих трех утверждений весьма прост. Первая формула принадлежит арифметике. Вторая - это формула алгебры Буля, утверждающая, что "универсальное множество (обозначенное как "1") будучи сложено с самим собой - есть то же самое универсальное множество". Третья формула определяет сложение по модулю 2. Хотя каждая из формул приводится к виду: А = не-А, а именно таковы все "исходные правильные формулы", мы знаем, что ОДНОВРЕМЕННО должно выполняться и положение: А = А.

Наличие работ с высказыванием, или положением, которое имеет вид математической аксиомы, сопровождает процесс ОСМЫСЛИВАНИЯ: "А есть В" и "В есть А" - отождествление. Оно означает РАВЕНСТВО А и В в некотором "отношении". Но одновременно с этим существует еще и НЕРАВЕНСТВО А и В: "А не-есть В" и "В не-есть А" - противопоставление.

Стандартное представление этих двух ПРОТИВОположений принято в тензорном анализе, где ИНВАРИАНТ - есть то, что ОДНО И ТО ЖЕ. Его же матричное представление может менять свой вид, но лишь ЗНАНИЕ, что это матричные представления одного и того же инвариантного объекта, РАЗРЕШАЕТ алгоритмически неразрешимую проблему.

"Визуализацию" этого положения очень хорошо демонстрировал П.С.Новиков. Он показывает точку, поставленную карандашом на бумаге. Затем предлагает представить себе координатную сетку, нарисованную на кальке. Накладывая эту координатную сетку на бумагу с изображением точки, мы получаем запись А(,), где, - координаты нашей точки в первой координатной системе. Затем берем вторую координатную сетку на кальке и кладем ее сверху первой сетки. Во второй координатной системе та же самая точка получает координаты B(,), где, - координаты нашей точки во второй системе координат. Теперь мы можем получить выражение, которое соответствует булевой переменной:

"Являются ли координаты A(,) координатами ТОЙ ЖЕ САМОЙ ТОЧКИ, которая имеет координаты B(,) во второй системе координат?"

Вот здесь возможен ОДИН И ТОЛЬКО ОДИН ОТВЕТ: либо "ДА", либо "НЕТ".

Никакой другой способ не дает "математически чистого" определения булевой переменной. Теперь мы можем получить и ПОНЯТИЕ "АЛГОРИТМ".

Это ПРАВИЛО-F, которое позволяет по координатам ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ТОЧКИ, данным в первой системе координат, найти координаты той же самой точки во второй системе координат.

B(x₂ ,y₂) = F & A(x₁ ,y₁).

Фактически существуют три правила, которые позволяют математику говорить "СЛЕДОВАТЕЛЬНО":

Если А > B и B > C, то, следовательно, A > C.
Если A = B и B = C, то, следовательно, A = C.
Если A О B и B О C, то, следовательно, A О C.

Устройство математики, благодаря ее аксиоматической конструкции, позволяет передавать ВСЕ, ЧТО ПОНЯТО в вычислительную машину. Это открывает возможность создания "банка теорий", охватывающих все предметные области, т.е. все профессиональные знания.

Подведем итог: аксиомы, которые правильно называть ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМИ, не могут рассматриваться без своего "отрицания", т.е. ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЯ. Всякое ПОЛОЖЕНИЕ во всех случаях имеет ГРАНИЦУ, за пределами которой оно "превращается" в свою ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ. Этот переход за ненаблюдаемую в математике ГРАНИЦУ, есть изменение КАЧЕСТВА. Этот переход через ГРАНИЦУ, т.е. переход к другому КАЧЕСТВУ, порождает известные математические "трудности": нелинейность, бифуркацию, катастрофу и т.п. - математические термины, выражающие РАЗРЫВ непрерывности, СКАЧЕК или изменение ПРАВИЛА.

Именно И.Кант обнаружил, что невозможно описывать реальный мир, если пользоваться ТОЛЬКО УТВЕРДИТЕЛЬНЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ. Оказалось, что мы нуждаемся в ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ высказываниях. Отдельные части реальности удовлетворяют утвердительным положениям, но существуют и такие части реальности, которые требуют ОТРИЦАНИЯ этих утвердительных положений. Анализ этой ситуации и привел к признанию сосуществования как утверждения, так и его отрицания. Объединение того и другого философы называют СИНТЕЗИСОМ, который охватывает как ТЕЗИС, так и АНТИТЕЗИС. Новое КАЧЕСТВО - есть НОВЫЙ ОБЪЕКТ. Именно он и есть ИНВАРИАНТ математического описания, а "старые" тезис и антитезис - есть не более как его "координатные представления".