Центральные проекции и их основные свойства

При центральном проецировании – построении центральных проекций – задают плоскость проекций и центр проецирования – точку, не лежащую в плоскости проекций. На рисунке 1.1 плоскость Π – плоскость проекций, точка S – центр проецирования.

Для проецирования произвольной точки через нее и центр проецирования проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.

Центральной проекцией точки А является точка А' пересечения прямой SA с плоскостью Π' (см. рисунок 1.1). Так же построены центральные проекции В', С', D' точек В, С, D на плоскости Π'.

Рисунок 1.1

Прямые, проходящие через центр проецирования и проецируемые точки, называют проецирующими прямыми.

Центральные проекции В'и С' двух различных точек В и Св пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих одной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.

Следовательно, при заданной плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве, т. е. нет обратимости чертежа.

Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например, можно задать второй центр проецирования. Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек (рисунки 1.2, 1.4).

При этом проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (a) (рисунок 1.2) или могут оказаться в одной плоскости (g) (рисунок 1.4).

Рисунок 1.2

Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рисунок 1.2 проецирующая коническая поверхность пересекается с плоскостью проекций П' по кривой А'В', являющейся проекцией линии АВ. Однако проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности может быть бесчисленное количество линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

При проецировании прямой линии, не проходящей через центр проецирования, проецирующей поверхностью служит плоскость. Так, на рисунке 1.4 проецирующая плоскость g, образуемая проецирующими прямыми SCи SD, проходящими через точки С и Dпрямой, пересекает плоскость проекций П' по прямой C'D', которая и является проекцией прямой CD. Соответственно проекция М'(точки М принадлежит прямой CD)принадлежит и проекции C'D'.

Рисунок 1.4

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций П'проекции треугольника A', B', C'(рисунок 1.5) достаточно построить проекции трех его точек – вершин А, В, С.

Обобщим и сформулируем следующие свойства центрального проецирования.

1 При центральном проецировании:

а) точка проецируется точкой;

б) прямая изображается прямой, за исключением проецирующей прямой (проецирующая прямая – точкой);

в) прямая, принадлежащая проецирующей плоскости, проецируются вместе с ней в виде прямой;

г) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой;

д) трехмерная фигура отображается двумерной.

2 Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирование геометрических форм на плоскости. Центральное проецирование фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.

3 При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.

4 На основе центрального проецирования выполняется линейная перспектива – наиболее наглядный вид графических изображений. Вместе с тем центральное проецирование имеет ряд существенных недостатков, главное – относительная сложность метода, большие изменения как по форме, так и по размерам при изображении фигур.