Линейная модель торговли

От второй отняли третью умноженную на 2

Разделили вторую на 2

От третьей и четвертой отняли вторую

Переставили3и 4

от 4 отняли откуда

=5 - -3 + =

Расстояние от вектора до подпространства :

угол между вектором и подпространством

Линейная модель торговли

Примером экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты стран, которые мы обозначим соответственно ,расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть — доля бюджета , которую -я страна тратит на закупку товаров у -й страны. Введем матрицу коэффициентов :

Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство

Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. или

Докажем, что в условиях (3) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при от 1 до . Группируя слагаемые с величинами бюджетов , получаем

Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (3). Стало быть, мы получили неравенство

откуда возможен только знак равенства.

Таким образом, условия (3) принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (4) можно записать в матричной форме

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы , отвечающий ее собственному значению = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (5) в виде, позволяющем определить :

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению = 1 заданной структурной матрицы , т.е. решить уравнение (6), которое в нашем случае имеет вид

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):