Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы

Теорема. Ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , , является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение – ее каноническим видом в базисе .

Доказательство:

, если , так как – ортогональная система векторов – канонический базис квадратичной формы .

, так как векторы системы нормированы, то , .

Канонический базис Якоби квадратичной формы

Будем говорить, что матрица удовлетворяет условию Якоби, если определители:

, ,

называемые угловыми минорами матрицы ,не равны нулю. Очевидно, что , .

Обозначим через матрицу:

.

Вычислим определитель этой матрицы, разлагая ее по последнему столбцу, затем также по последнему столбцу разложим полученный определитель и т.д.

Из условия , следует, что и, значит, каждая система уравнений , , где – –й вектор диагональной системы, имеет единственное решение , . Система векторов называется системой векторов Якоби матрицы , которая удовлетворяет условию Якоби.

Теорема. Если матрица квадратичной формы удовлетворяет условию Якоби, то система векторов Якоби матрицы является каноническим базисом квадратичной формы , а выражение:

– ее каноническим видом в базисе .