Степень с рациональным показателем

Выражение аⁿ определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:

a^m*aⁿ=a^m+n;

a^m:аⁿ=a^m-n (а≠0);

(а^m)ⁿ = а^mn;

(ab) ⁿ = aⁿ*bⁿ;

(b≠0);

а¹=а; а⁰=1 (а≠0).

Отметим также следующее свойство:

Если m>n, то а^m>аⁿ при а>1 и а^m<аⁿ при 0<а<1.

В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 2^0.3, 8^5/7, 4^-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа должна быть равна а^m. Действительно, если свойство

(a^p)^q=a^pq

выполняется, то

Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число должно быть корнем п-й степени из числа а^m.

Определение.

Степенью числа а>0 с рациональным показателем r= , где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число

Итак, по определению

(1)

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0^r = 0 для любого r>0.

Замечание 1.

Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального r число a^r положительно.

Замечание 2.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку для любого натурального k. Значение a^r также не зависит от формы записи рационального числа r. В самом деле, из свойств корней следует, что

Замечание 3.

При а < 0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для а<0, то, например, значение равнялось бы , т. е. — 2. Но, с другой стороны, , и поэтому должно выполняться равенство .