Приклад 3

Мається 25 цукерок 3 сортів. Чи вірно, що не менше 9 з них будуть якогось одного сорту?

Розв’язання: Нехай «клітками» у нас будуть сорти цукерок, а «кроликами» -самі цукерки. За принципом Діріхле знайдеться «клітка», в якій не менше 25/3 «кроликів». Так як 8 <25/3 <9, то знайдеться 9 цукерок одного сорту.

Твердження можна довести, проводячи одразу міркування від протилежного. Нехай цукерок кожного сорту не більше 9, тобто не перевищує восьми. Тоді всього цукерок не більше 3 × 8 = 24, а за умовою їх 25. Протиріччя.

Приклад 4.

У класі 30 чоловік. Паша зробив 13 помилок, а решта менше. Довести, що якісь три учні зробили однакову кількість помилок.

Розв’язання: За умовою задачі, найбільше число помилок, зроблених в роботі 13. Значить, учні могли зробити 0, 1, 2,..., 13 помилок. Ці варіанти будуть «клітинами», а учні стануть «кроликами». Тоді по (узагальненому) принципом Діріхле (14 клітин і 30 зайців) знайдуться три учні, що потрапили в одну «клітку», тобто зробили однакове число помилок.

Приклад 5.

В квадратному килимі зі стороною 1 м моль проїла 51 дірку (дірка - точка). Доведіть, що деякою квадратної латкою зі стороною 20 см можна закрити не менше трьох дірок.

Розв’язання: Весь килим можна накрити такими 25-ю латками. За принципом Діріхле якась із цих латок накриє не менше трьох дірок.

Іноді принцип Діріхле не працює «прямо», що вимагає додаткових міркувань.

Приклад 6.

Кілька футбольних команд проводять турнір в одне коло. Доведіть, що в будь-який момент турніру знайдуться дві команди, які зіграли до цього моменту однакову число матчів.

Розв’язання: Нехай всього n шахістів. Тоді кожен міг зіграти від 0 до n - 1 партій: всього n варіантів. Здавалося б, що принцип Діріхле не працює: у нас мається n різних шахістів і n різних кількостей зіграних партій.

Зауважимо, однак, що якщо якийсь шахіст не зіграв жодної партії, щось не знайдеться шахіста, який зіграв усі партії. Тобто не може бути ситуації, коли є гравець, який зіграв 0 партій, і гравець, який зіграв n - 1 партію. Значить, різних кількостей зіграних партій в будь-який момент турніру може бути не більше n - 1 (від 0 до n - 2 або від 1 до n - 1). За принципом Діріхле в будь-який момент турніру знайдеться два гравця, які відіграли однакову кількість партій.