Примерное решение курсовой работы

Пример 1. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

а)

Так как , то числитель дроби стремится к числу 5 4+2=22, а знаменатель – к числу 2 4+3=11. Следовательно, на основании теоремы 1 (предел суммы и произведения) имеем

б)

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получаем

так как при каждая из дробей 5/ x и 7/ x стремится к нулю.

в)

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента х = 2 приводит к неопределенности вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и сократим члены дроби на общий множитель (х – 2). Так как аргумент х только стремится к своему предельному значению 2, но не совпадает с ним, то множитель (х – 2) отличен от нуля при х ® 2:

Пример 2. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных

а)

По правилу дифференцирования, производная суммы равна сумме производных и постоянный множитель можно вынести за знак производной:

б)

По правилу дифференцирования произведения функций находим:

в)

По правилу дифференцирования частного функций получаем:

г) ,

Производная функции ,заданной параметрически, находится по формуле

откуда в нашем случае

Пример 3. Построить график функции y=f(x), используя схему исследования функции .

1. Область определения функции: вся числовая ось, кроме точки .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

Кроме того, функция не является периодической.

3. Определим точки пересечения графика функции с осями координат.

При х = 0 функция не определена, следовательно, точек пересечения графика с осью Оy нет.

Решив уравнение у (х)=0, т. е. , получим точку (1; 0) пересечения с осью Oх.

4. Определим точки разрыва функции. В точке функция имеет бесконечный разрыв (второго рода):

Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.

Следовательно, х = 0 – единственная вертикальная асимптота графика функции.

5. Найдем невертикальные асимптоты графика функции.

Для этого определим коэффициенты k и b по формулам (15.2), получим:

Получена наклонная асимптота – биссектриса второго и четвертого координатных углов.

6. Для нахождения точек экстремума найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

Таким образом, критические точки:

, так как в этой точке ;

, так как в этой точке не существует (это точка разрыва).

Рассмотрим критические точки и найдем промежутки монотонности функции:

x	(–¥; )		(; 0)		(0; +¥)
y¢	–		+	не существует	–
y		min		не существует

Отметим: точка не является точкой экстремума, так как она есть точка разрыва.

Точка является точкой минимума, при этом

7. Для нахождения точек перегиба найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

; , не существует при х =0,

но это значение x не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба. На всей области определения функции , поэтому ее график всюду вогнутый.